Робота присвячена розвитку теорії локально складних неперервних функцій з фрактальними властивостями, конструкції яких реалізовані у термінах різних систем кодування (зображення) дійсних чисел, зокрема канторівських систем числення, Q ̃-зображення та оригінальної новоствореної системи кодування дійсних чисел (B-зображення) засобами двосторонньо нескінченного алфавіту. В ній вивчаються структурні, варіаційні, тополого-метричні , інтегро-диференціальні та фрактальні властивості трьох класів неперервних функцій. Серед них: ніде не монотонні (ті, що не мають проміжків монотонності), сингулярні функції (ті, що є неперервними, відмінними від константи і мають похідну рівну нулю майже скрізь у розумінні міри Лебега), а також функції, що не мають проміжків монотонності, окрім проміжків сталості. Для означення функції використовується зображення аргумента в одній з вище вказаних систем, а значення функції визначається специфічною нескінченною матрицею, сума елементів кожного стовпця якої дорівнює одиниці.
Найбільш повно досліджено клас функцій, що пов'язаний з вперше обгрунтованим і детально вивченим B-зображенням чисел одиничного інтервалу. Для функцій цього класу виведено формулу для обчислення міри Лебега множини несталості функції, що є різницею області визначення і об'єднання інтервалів сталості. Встановлено необхідні та достатні умови її нуль-мірності. Обгрунтовано критерій належності функції до класу сингулярних функцій канторівського типу.
Доведено, що функція є ніде не монотонною тоді і лише тоді, коли серед елементів її визначальної матриці немає нулів і нескінченна кількість її стовпців містять від'ємні елементи. Виведено формулу для обчислення варіації функції. Знайдено необхідні та достатні умови, за яких вона має необмежену варіацію. Зокрема доведено, що вона є такою, коли у матриці всі стовпці однакові і не містять нулів. Вказано умови, при яких функція матиме канторівський або квазіканторівський тип, необмежену варіацію і не має проміжків монотонності, крім проміжків сталості.
Встановлено, що у випадку, коли всі стовпці визначальної матриці однакові і не містять нулів, графік функції є N-самоафінною множиною. Структуру самоафінності графіка функції використано для обчислення визначеного інтеграла.
За умови, коли всі стовпці матриці однакові, її елементи додатні, знайдено достатні умови того, щоб функція була сингулярною строго зростаючою функцією розподілу ймовірностей на одиничному інтервалі.
