Ткаченко Д. А. АНАЛІТИКО-ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ДЕФОРМУВАННЯ СКЛАДНИХ ПЛАСТИНЧАТИХ СИСТЕМ

Дисертаційна робота присвячена розробці аналітичних і аналітико-чисельних методів для розв'язання крайових задач, застосовуваних до аналізу напружено-деформованого стану тонкостінних конструкцій. Актуальність теми визначається широким використанням таких конструкцій у галузях авіації, космічної техніки, кораблебудування та будівництва, де забезпечення високої міцності при збереженні мінімальної маси конструкції є критично важливим. Отримання та використання найбільш точних розв’язків сприяє виконанню цієї антагоністичної вимоги. Отже, попри широке використання методу скінченних елементів в інженерній практиці, розробка аналітичних, наближених аналітичних та аналітико-числових розв’язків є актуальною тенденцією як у науковій, так і в інженерній сферах. У дисертації наводиться два підходи до аналізу просторової тонкостінної конструкції – декомпозиційний та системний. Перший підхід удосконалює застосування методу ідентифікації крайових умов і залучає до побудови розв’язку метод сполучення конструктивних елементів та метод редукції. За цим підходом повністю неоднорідна крайова задача розв’язується на основі простіших напіводнорідних задач для окремих конструктивних елементів, як-от пластини або пластини з балками. Тому повний розв'язок задачі записується через суму спеціального часткового розв'язку, функцій продовження крайових умов з границі в область та коригувального розв'язку. На кінцевому етапі всі невідомі параметри в розв’язку знаходяться при відтворенні умов взаємодії між елементами та неоднорідними умовами на зовнішній границі системи. Системний підхід, на відміну від декомпозиційного, пропонує будувати розв’язок для всієї системи елементів сукупно, без розбиття на підзадачі. Такий розв’язок визначається за допомогою універсальних функцій, що виконують як крайові, так і контактні умови між елементами. Невідомі параметри в записі універсальних функцій знаходяться за процедурою Рітца після мінімізації функціоналу повної потенціальної енергії всієї системи. У роботі запропоновано алгоритм добору універсальних функцій, що забезпечують стійкість розв’язків і швидку збіжність та високу точність результатів в порівнянні з чисельними методами. Цей підхід реалізовано на прикладі декількох моделей трьох різних стрингерних панелей. При аналізі панелі, яка складається з набору двовимірних або одновимірних і двовимірних елементів, виникає проблема узгодження функцій різного класу просторів (сполучення мембранних і згинальних функцій переміщень). Наведено два підходи до вирішення цього питання. У першому підході функція мембранних переміщень задається, як і функція прогину, і зв'язується із заданою на границі функцією тільки за переміщеннями. У другому підході степінь апроксимувального полінома функції мембранних переміщень на границі піднімається до степеня заданої тут функції із наступним перерахунком коефіцієнтів. Побудова розв’язку для просторової тонкостінної конструкції приводить до необхідності розв'язувати напіводнорідну крайову задачу з однорідними головними крайовими умовами та неоднорідною правою частиною диференціального рівняння. На прикладі розв’язання цієї задачі в подвійних рядах було проаналізовано, які системи координатних функцій мають найкращі апроксимативні властивості. Після проведення розрахунків отримано висновок, що найбільш якісними є сімейства поліноміальних функцій С.А. Халілова та В.Б. Минтюка, які є зручними для програмування. Також у роботі наведено інші типи розв’язків, які можуть бути застосовані до цієї задачі: наближений аналітичний розв'язок типу Нав'є, наближений аналітичний розв'язок в одинарних рядах типу Моріса Леві, наближений аналітичний розв'язок, побудований на основі ортонормованого в енергетичному просторі базису, наближений аналітичний розв'язок базової задачі, поданий через власні функції бігармонічного оператора. Практична цінність дисертаційної роботи полягає у значному підвищенні точності та ефективності обчислень при моделюванні напружено-деформованого стану тонкостінних просторових конструкцій. Запропоновані підходи та методи дозволяють отримувати високоточні розв’язки для конструкцій з довільними крайовими умовами, а також для конструкцій із нерегулярною геометрією. Це робить дослідження цінним для інженерних галузей, орієнтованих на розрахунок і проєктування міцності та стійкості конструкцій, таких як авіація та космонавтика. Отримані результати підтверджені чисельними експериментами, а також впроваджені на підприємствах. Основні наукові результати опубліковані у фахових виданнях та представлені на наукових конференціях. Ключові слова: система прямокутних пластин; панель, підкріплена балками; аналітико-числовий розв’язок; неоднорідна крайова задача; бігармонічний оператор; ідентифікація крайових умов; стійкість, збіжність і точність обчислювальних процедур.