Коваленко О. В. Нерівності для похідних і екстремальні задачі теорії наближень у метричних просторах

Дисертаційна робота присвячена класичним задачам теорії наближень, зокрема точним нерівностям для похідних типу Ландау-Колмогорова, задачі Стєчкіна про наближення необмежених операторів обмеженими, задачі знаходження модуля неперервності операторів, а також задачам оптимального відновлення операторів і функціоналів за точною і неточною інформацією, зокрема задачам про найкращі кубатурні формули. Перший розділ присвячено дослідженню екстремальних задач теорії наближень у просторах функцій, які набувають значення у L-просторах, тобто у напівлінійних метричних просторах з додатковими аксіомами, що пов'язують метрику з алгебраїчними операціями. Такий підхід дозволяє включити до розгляду різні класи функцій, зокрема класи багато- і нечітко-значних функцій, а також класи функцій зі значеннями у банахових просторах, зокрема класи випадкових процесів. Ми отримуємо узагальнення леми Корнєйчука-Стєчкіна для функцій зі значеннями у L-просторах. Ми доводимо точні нерівності типу Островського і розв'язуємо задачі оптимального відновлення операторів та функціоналів на різних класах функцій зі значеннями у L-просторах. Другий розділ присвячено екстремальним задачам для операторів, що задані на класах Соболєва функцій багатьох змінних. На цих класах функцій ми розв'язуємо задачу найкращого наближення, взагалі кажучи, необмеженого гіперсингулярного інтегрального оператора D за допомогою обмежених. Ми також доводимо точні адитивні нерівності типу Ландау, що оцінюють рівномірну норму функції Df через рівномірну норму функції f і інтегральну норму градієнта функції f. Крім того, ми знаходимо модуль неперервності оператора D і розв'язуємо задачу оптимального відновлення цього оператора за неточно заданими аргументами оператора. Ми розв'язуємо задачу оптимального відновлення інтеграла з одиничною та з неодиничною ваговою функцією на різних областях визначення функцій. Третій розділ присвячено нерівностям, що оцінюють відхилення значення функції в деякій точці від середнього значення цієї функції, використовуючи різні характеристики функції (такі нерівності часто називають нерівностями типу Островського) та деяким їх застосуванням. Нерівності такого типу можуть бути використані для розв'язання інших екстремальних задач теорії наближень, зокрема, для функцій малої гладкості вони можуть бути застосовані при розв'язанні задач оптимального відновлення і при доведенні нерівностей типу Ландау-Колмогорова. Для функцій багатьох змінних ми пропонуємо нове означення поняття функції обмеженої варіації і доводимо точні нерівності типу Островського. Для класу випадкових процесів, що задається мажорантою модуля неперервності, ми доводимо точну нерівність типу Островського, яка оцінює відхилення інтеграла випадкового процесу від значення процесу у випадковий момент часу. Застосовуючи цю нерівність, ми розв'язуємо задачу оптимального відновлення інтеграла від випадкового процесу цього класу, знаючи значення процесу у n випадкових моментів часу. Четвертий розділ присвячено нерівностям для похідних типу Ландау-Колмогорова і типу Надя, а також пов'язаним задачам. Отримано точнi нерівнoстi типу Надя, які оцінюють рівномірну норму функції з простору Соболєва через L_p-норму її градієнта, і деяку її напівнорму, яка визначається на просторі локально інтегровних у відкритому конусі функцій. Ми знаходимо модуль неперервності оператора кратного диференціювання на класах функцій визначених на пів осі, які задаються (неконстантними) мажорантами самих функцій і їх старших похідних. Ми доводимо аналог теореми про вужів, який гарантує існування аналогів ідеальних сплайнів з максимально можливою кількістю точок осциляції. Ці сплайни виступають екстремальними в задачі про модуль неперервності оператора диференціювання.