Дисертацiю присвячено дослiдженню метрик розшарованих просторів, їхнiх властивостей, та їх узагальнень на більш широкий клас метрик які призводять до iншої геометрiї в шарах i всьому дотичному розшаруваннi.
Природною метрикою на дотичному розшаруванні є метрика Сасакі, геометричні властивості якої добре відомі. Насправді ж загалом метрика Сасакі має лише властивості загальної ріманової метрики, бо на шарах метрика Сасакі співпадає з метрикою базового многовиду. Але можна узагальнити визначення метрики Сасакі, дозволивши метриці на шарах відрізнятися від базової. Головним питанням, яким займалися і займаються багато відомих математиків, є: як саме нова деформована метрика Сасакі змінює геометрію дотичного розшарування?
Метою дослідження є виявлення залежностей геометричних властивостей загальних векторних розшарувань від метрики на розшарованому просторі, а також знаходження зв’язку між властивостями базового многовиду і шарів загального розшарування, вивчення геометричних властивостей перерізів загального розшарування для різних типів узагальнених метрик.
Об’єктом дослідження є геометричні властивості дотичних розшарувань ріманових многовидів та їх перерізів з різними деформаціями метрики Сасакі.
Предметами дослiдження є узагальнення метрики Сасакі, геодезичні лінії дотичного розшарування, особливості сасакієвого многовиду, а також гармонічні, мінімальні та цілком геодезичні векторні поля.
Завданнями дослiдження є:
1) узагальнення сигар солітонної метрики на дотичне розшарування;
2) дослідження геодезичних ліній дотичного розшарування з пошарово сигар солiтонною метрикою;
3) дослідження гармонічних одиничних векторних полів на одиничному дотичному розшаруваннi зі скрученою метрикою Сасакi;
4) класифікація лівоінваріантних гармонічних одиничних векторних полів, які визначають гармонічні відображення у випадку вертикально масштабованої метрики на одиничному дотичному розшаруваннi;
5) знаходження виразу для другої основної форми підмноговиду, що задається одиничним векторним полем, в одиничному дотичному розшаруванні ріманового многовиду з g-натуральною метрикою;
6) знаходження умов, за яких відображення що задається одиничним векторним полем, в одиничному дотичному розшаруванні ріманового многовиду з g-натуральною метрикою може бути цілком геодезичним.
Для дослідження використано методи диференціальної геометрії, ріманової геометрії, диференціальних рівнянь, математичного аналізу, лінійної алгебри, теорії груп та алгебр Лі.
Роздiл 1 дисертацiйної роботи присвячено базовим відомостям з геометрії розшарованих просторів, а також огляду літератури. Наведено базові відомості з геометрії дотичного розшарування та одиничного дотичного розшарування, контактних многовидів, метрики Сасакі, векторних полів на рімановому многовиді як відображень та підмноговидів. Зроблено огляд таких понять, як гармонiчнiсть, мiнiмальнiсть i цiлком геодезичнiсть векторного поля та вiдображення.
Роздiл 2 дисертацiйної роботи присвячено узагальненю сигар солiтонної метрики Річарда Гамiльтона як деформації метрики Сасакi на дотичному розшаруванні ріманова многовиду. У дисертаційній роботi вперше було досліджено узагальнення метрики сигар солітона Гамільтона, що є двовимірним многовидом, як метрики на дотичному розшаруванні. Було вперше введено поняття "пошарово сигар солiтонної деформацiї метрики Сасакi" (або "пошарово гамiльтонової сигар солiтонної метрики") і досліджено геодезичні лінії дотичного розшарування з такою метрикою.
Роздiл 3 дисертацiйної роботи присвячено вивченню гармонічних одиничних векторних полів на одиничному дотичному розшаруваннi зі скрученою метрикою Сасакi. У дисертаційній роботi вперше було описано деформації які зберігають існування гармонічних ліво-інваріантних одиничних векторних полів на тривимірних унімодулярних групах Лі з ліво-інваріантною метрикою та гармонічних відображень, які задаються одиничним векторним полем, у випадку скрученої метрики Сасакі на одиничному дотичному розшаруванні, а також вперше було класифіковано такі векторні поля та відображень у випадку вертикально масштабованої метрики.
Роздiл 4 дисертацiйної роботи присвячено вивченню випадку, коли непаралельне одиничне векторне поле на рімановому многовиді визначає iзометричне занурення з рімановою g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні. У дисертаційній роботi вперше було досліджено цiлком геодезичність непаралельних одиничних векторних полiв, що визначають iзометричне вкладення, на K-контактному метричному многовиді з g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні. Також вперше було отримано вираз для другої основної форми відображення, що задається одиничним векторним полем на рімановому многовиді з g-натуральною метрикою на одиничному дотичному розшаруванні.
Практичним значенням отриманих результатів є доповнення наявних результатів з геометрії розшарованих просторів.
