Романюк Р. О. Удосконалення частотного символьного методу аналізу LPTV кіл у середовищі MATLAB

У дисертаційній роботі розв’язано актуальну задачу, яка усуває існуючий суттєвий недолік експоненціального зростання часу аналізу складних LPTV кіл, параметри яких періодично змінюються у часі, при зростанні їх складності та запропоновано шляхи вирішення виникаючих при цьому задач меншого порядку. Розроблені, в межах цієї дисертаційної роботи, методи забезпечують можливість математичного моделювання LPTV кіл із десятками, сотнями, а в деяких випадках, і тисячами вузлів та елементів (як змінних в часі, так і постійних). Одним із чинників експоненціального зростання складності аналізу LPTV кіл є перехід від символьної системи лінійних диференціальних рівнянь до її представлення у частотній області символьною системою лінійних алгебраїчних рівнянь. Вперше використано полігармонічні матричні моделі елементів LPTV кола, матриці яких описують кожен елемент у частотній області. Моделі називаємо полігармонічними, оскільки вони описують елементи з урахуванням необхідної кількості гармонічних складових сигналу. Ці математичні моделі програмно згенеровані одноразово, зберігаються у бібліотеці моделей, використовуються згідно із завданням на моделювання різних LPTV кіл і не вимагають їх повторного генерування. Завдяки полігармонічним матричним моделям було розроблено метод формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь одразу в частотній області. Удосконалено метод блочних матриць, який з полігармонічних матричних моделей елементів формує систему рівнянь, що описує LPTV коло в цілому, безпосередньо в частотній області. Такий підхід дозволив наблизити (практично зробити рівними) витрати комп’ютерного часу на формування системи рівнянь складного LPTV кола до витрат часу на формування системи рівнянь такого ж кола, вважаючи його параметри в часі постійними. Це дало змогу аналізувати більш складні LPTV кола, оскільки витрати часу на формування системи рівнянь тепер зростають не експоненціально, як у ЧС-методі, а лінійно. Іншим чинником експоненціального зростання витрат часу на аналіз складних LPTV кіл є матриці високих порядків, розмір яких залежить від кількості вузлів у колі. Для зниження складності аналізу LPTV кіл та зменшення витрат комп’ютерного часу на формування передавальної функції, застосовано метод підсхем, зокрема метод D-дерев. Оскільки метод D-дерев можна застосовувати лише до систем лінійних алгебраїчних рівнянь, складених методом вузлових напруг, то згідно методу вузлових напруг, матриці елементів є матрицями провідностей, які за наявності індуктивностей в колі утворюють системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з наявними інтегральними виразами. Однак, перетворення Л.А. Заде можна застосовувати лише до системи лінійних диференціальних рівнянь. Тому, досліджено і реалізовано оригінальний підхід до усунення таких небажаних інтегральних виразів. Показано, що застосування, традиційного диференціювання системи рівнянь LPTV кола не є ефективним, тому що воно, зазвичай, підвищує порядок системи рівнянь та створює у цьому випадку додаткові труднощі, пов’язані з неможливістю усунення інтегралів. Тому в роботі розглядається застосування заміни змінних до символьної системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь, що дає змогу усунути небажані інтегральні члени без збільшення громіздкості системи рівнянь. Для апробації розроблено низку програмних модулів: ● функцію формування полігармонічних матричних моделей для провідності, ємності та індуктивності з або без урахування методу заміни змінних; ● функцію формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь складного LPTV кола у частотній області за методом блочних матриць; ● функцію перетворення тригонометричної апроксимації на експоненціальну та обчислення вихідної напруги за частковими розв’язками методу Крамера; ● функцію застосування методу D-дерев до моделі довгої параметричної лінії; ● утиліту для формування амплітудно-частотної характеристики LPTV кіл. Досліджено модель втратної лінії передачі з параметричними елементами. Досліджено вплив різної кількості ланок на гармонічний склад сигналу: при парній кількості ланок відбувається пригнічення певних гармонічних складових, а при непарній – їх підсилення. Також продемонстровано широкий спектр можливостей з використанням одної моделі для різних задач: змішувач частот, підсилювач. Виконано комп’ютерне дослідження моделі параметричної довгої лінії з кількістю ланок до 128, що перевищує можливості системи UDF MAOPCs 2018. Встановлено, що збільшення кількості гармонічних складових апроксимації передавальної функції зменшує відхилення результатів від програми числового моделювання Micro-Cap 12 (менше 0.02 % при трьох гармонічних складових). Параметрична модуляція індуктивностей забезпечує підсилення вихідного сигналу на 18 % порівняно з моделлю довгої лінії з постійними параметрами. Отримано амплітудно-частотну характеристику моделі параметричної довгої лінії, що дає змогу аналізувати вплив частоти вхідного сигналу впливає на передавальні властивості кола.