Об'єкт дослідження - фізичні поля, які виникають у технічних системах та об'єктах. Мета дослідження - розроблення геометричних моделей та ефективних методів конструктивного відновлення фізичних полів, що виникають у технічних системах та об'єктах, для підвищення точності розрахунків та зменшення ресурсних витрат, а також дослідження інтерполяційних властивостей дискретних моделей для покращення їхніх характеристик. Методи дослідження - методи геометричного та ймовірнісно-геометричного моделювання для побудови альтернативних моделей на скінченних елементах; методи комп'ютерного та фізичного моделювання для апробації запропонованого в роботі методу відновлення фізичних полів; методи математичної фізики для побудови функції-пагоди; метод скінченних різниць, метод скінченних елементів та метод Монте-Карло для оцінки точності обчислень; методи барицентричного усереднення для розрахунку фізичних полів; методи теорії ймовірностей при розв'язуванні узагальненої задачі Бюффона про голку. Теоретичні та практичні результати - побудова альтернативних моделей на скінченних елементах різної конфігурації, що дозволяють підвищити точність розрахунків при зменшенні ресурсних витрат; розробка несіткового методу для розв'язування задачі Діріхле в областях складної неопуклої форми, що дозволяє адекватно відновити фізичні поля, які виникають у технічних об'єктах і системах; виявлення явища стійкості фізичних полів по відношенню до базису на серендипових скінченних елементах, що збагачує знання про властивості цих елементів і дозволяє вирішити проблему ансамблювання елементів з різними базисами. Наукова новизна - вперше реалізовано метод скінченних елементів з використанням альтернативних моделей елементів серендипової сім'ї при розв'язуванні задачі про кручення призматичних стержнів прямокутного перерізу, що дало можливість оптимізувати запропоновані моделі; вперше побудовано унітарні моделі на октагоні, серед яких є поліноміальні, гармонічні за диференціальним критерієм Лапласа та інтегральними критеріями Привалова і Кьобе, та дробово-раціональні, гармонічні за інтегральними критеріями, що адекватно моделюють фізичне поле з октагональним носієм; вперше виявлено та аналітично доведено явище стійкості фізичних полів по відношенню до базису на серендипових елементах у двовимірному та тривимірному просторах, що має як теоретичне, так і прикладне значення, зокрема, при ансамблюванні елементів з різними базисами; вперше розроблено ефективний несітковий метод для відновлення фізичних полів в областях складної неопуклої форми, завдяки якому було побудовано математичні моделі з урахуванням особливостей технічних задач та проведено порівняння отриманих результатів з результатами, одержаними за допомогою відомих чисельних методів та комп'ютерних і фізичних експериментів; удосконалено моделі, що використовуються в методі скінченних елементів шляхом застосування геометричного моделювання, внаслідок чого були зменшені обчислювальні ресурси на його реалізацію; дістало подальшого розвитку розв'язання проблеми виявлення "прихованих" параметрів інтерполяційних поліномів на двовимірних і тривимірних серендипових елементах вищих порядків без введення додаткових вузлів, внаслідок чого було виявлено нові класи моделей та проведено їх тестування з метою оптимізації; дістало подальшого розвитку геометричне моделювання шестикутних елементів, що дозволило побудувати нову унітарну модель на гексагоні, гармонічну за інтегральними критеріями Кьобе та Привалова, яка успішно витримала тестування в задачах відновлення стаціонарних полів. Результати дисертаційної роботи впроваджені у фізико-механічному інституті імені Г.В. Карпенка НАН України (м. Львів) та у навчальному процесі в Івано-Франківському національному технічному університеті нафти і газу, що підтверджено документами про впровадження. Наукові та практичні результати дисертаційної роботи можуть бути використані: у конструкторських та проектних організаціях для проведення експрес-аналізу фізичних полів; у навчальному процесі при підготовці фахівців у галузі математичного моделювання та обчислювальних методів; у наукових закладах та організаціях, що проводять дослідження в галузі розробки математичних моделей та методів відновлення фізичних полів.
