Об'єкт дослідження - задачі напіввизначеної оптимізації та методи їх розв'язування. Мета дослідження - обґрунтування збіжності та удосконалення напіввизначеного симплекс-методу для розв'язування задач напіввизначеної оптимізації, застосування та удосконалення напіввизначеної релаксації для розв'язування прикладних задач квадратичної оптимізації. Методи дослідження - при розв'язуванні поставлених задач використовувалася багатовимірна евклідова геометрія, опуклий аналіз, математичне моделювання, теорія та чисельні методи оптимізації. Для розв'язування загальних квадратичних задач використовувався метод напіввизначеної релаксації, точна квадратична регуляризація, напіввизначений симплекс-метод та прямо-двоїстий метод внутрішньої точки. Апаратура - персональний комп'ютер. Теоретичні і практичні результати - удосконалений напіввизначений симплекс-метод може бути використаний для розв'язування широкого кола практичних задач. Зокрема, задач кластеризації даних, розміщення датчиків у мережі, в алгоритмах калібрування фотокамер, для розфарбування графів та інших. Розроблене програмне забезпечення для розв'язування задач напіввизначеної оптимізації реалізує прямо-двоїстий метод внутрішньої точки та напіввизначений симплекс-метод, ефективність яких перевірена за допомогою чисельних експериментів над задачами різної розмірності. Наукова новизна одержаних результатів полягає в обґрунтуванні та удосконаленні напіввизначеного симплекс-методу як альтернативи існуючим прямо-двоїстим методам внутрішньої точки для розв'язування задач напіввизначеної оптимізації. Це розширило межі ефективного використання математичного моделювання складних систем, зокрема тих систем, які описуються загальними квадратичними функціями. Зокрема, в дисертації удосконалено процедуру оберненої ітерації, яка використовується для визначення додатної напіввизначеності матриці, шляхом використання методу спряжених напрямів, що за результатами чисельних експериментів дозволило підвищити точність розрахунків і прискорити збіжність до власного вектора матриці. Уперше строго доведено збіжність напіввизначеного симплекс-методу, який вдосконалено процедурою оберненої ітерації з використанням спряжених напрямів, встановлено його теоретичні та чисельні переваги. Удосконалено напіввизначену релаксацію шляхом використання точної квадратичної регуляризації та інших перетворень для загальних квадратичних задач і широкого кола прикладних задач, що на відміну від існуючих методів дозволило знаходити кращі розв'язки початкової задачі. Доведено точність напіввизначеної релаксації для окремих класів задач максимізації евклідової норми вектора на опуклій множині. Уперше запропоновано та перевірено на практиці нову процедуру знаходження верхніх і нижніх оцінок цільової функції, яка дозволяє отримувати оптимальні розв'язки у загальних задачах квадратичної оптимізації. Результати дисертаційної роботи впроваджені: у держбюджетну науково-дослідну роботу, виконану згідно з тематичним планом науково-дослідних робіт ДВНЗ "Український державний хіміко-технологічний університет" (№ держреєстрації 0112U004341, 2012-2014 рр.); у навчальному процесі на кафедрі спеціалізованих комп'ютерних систем ДВНЗ "Український державний хіміко-технологічний університет" (акт від 22.10.2014 р.).
