Філіпковська М. С. Глобальна розв'язність диференціально-алгебраїчних рівнянь та математичне моделювання динаміки нелінійних радіотехнічних кіл

Об'єкт дослідження - напівлінійні диференціально-алгебраїчні рівняння та математичні моделі нелінійних радіотехнічних кіл. Метою дослідження є отримання умов глобальної розв'язності, стійкості та нестійкості за Лагранжем напівлінійних диференціально-алгебраїчних рівнянь без використання глобальних умов Ліпшиця, розробка чисельного методу їх розв'язання на будь-якому заданому відрізку часу; дослідження глобальної динаміки математичних моделей нелінійних радіотехнічних кіл. Методи дослідження - метод продовження розв'язків з використанням диференціальних нерівностей і функцій типу Ляпунова та Ла-Саля, теореми про неявну функцію, спеціальні блокові зображення сингулярного операторного жмутка та його компонент, метод спектральних проекторів типу Ріса, методи побудови різницевих схем. Основними теоретичними результатами є отримані умови однозначної глобальної розв'язності та стійкості за Лагранжем напівлінійних диференціально-алгебраїчних рівнянь і розроблений чисельний метод розв'язання напівлінійного диференціально-алгебраїчного рівняння (ДАР). Основними практичними результатами є отримані умови гладкої детермінованої еволюції та обмеженості станів математичних моделей нелінійних радіотехнічних кіл на нескінченному інтервалі часу. Наукова новизна отриманих результатів. Набув подальшого розвитку метод продовження розв'язків звичайного диференціального рівняння з використанням диференціальних нерівностей і функцій типу Ляпунова та Ла-Саля, що дозволяє ослабити обмеження на нелінійну частину рівняння. Запропоновано нову блокову структуру операторних коефіцієнтів сингулярних напівлінійних ДАР, яка дозволяє звести вихідне рівняння до системи із суто диференціальних та суто алгебраїчних рівнянь. Отримано нові теореми існування та єдиності глобального розв'язку звичайного диференціального рівняння та напівлінійних ДАР з регулярним і сингулярним характеристичними жмутками, у тому числі теореми, які враховують специфічні властивості рівнянь. Теореми не містять обмежень типу глобальної умови Ліпшиця, що дозволяє отримувати умови глобальної розв'язності рівнянь динаміки для більш широких класів прикладних задач. Вперше отримано теореми про стійкість та нестійкість за Лагранжем напівлінійних ДАР з регулярним і сингулярним характеристичними жмутками, які дають умови існування та єдиності обмеженого глобального розв'язку і розв'язку зі скінченим часом визначення. Розроблено новий чисельний метод знаходження розв'язків напівлінійного ДАР на будь-якому заданому відрізку часу з урахуванням отриманих умов існування та єдиності глобального розв'язку. Результати дисертаційної роботи використано у науково-дослідній роботі "Аналіз еволюційних задач з рівняннями типу Соболєва" (№ ДР 0111U010369, 2012-2014 рр.) та впроваджено у навчальний процес Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (акт впровадження від 27.05.2015). Галузь використання - економіка, механіка, теорія керування, радіотехніка, робототехніка та інші галузі науки і техніки, де використовуються математичні моделі з напівлінійними диференціально-алгебраїчними рівняннями.