Чистяков О. В. Гібридні алгоритми дослідження та розв’язування алгебраїчної проблеми власних значень для розріджених матриць

Розв’язання алгебраїчної проблеми власних значень є однією з фундаментальних задач чисельного моделювання в багатьох предметних областях. Математичні моделі багатьох інженерних задач описуються системами диференціальних рівнянь або різницевими рівняннями, розв’язання яких полягає у визначенні власних значень і власних векторів матриць, що, як правило, мають розріджену структуру. Характерною особливістю цих матриць є надвеликі порядки (до десятків мільйонів) з великою кількістю ненульових елементів. Для розв’язування задач таких обсягів необхідно використовувати сучасні потужні комп’ютери. На сьогоднішній день ця проблема може бути вирішена використанням багатоядерних комп’ютерів з графічними процесорами – гібридних комп’ютерів, які поєднують MIMD- і SIMD-архітектури, а також ефективного алгоритмічно-програмного забезпечення, що враховує як математичні властивості розріджених матриць, так і архітектурні особливості комп’ютерів. Отже, проблема створення ефективних гібридних алгоритмів розв’язання задач на власні значення розріджених матриць на комп’ютерах гібридної архітектури є досить актуальна. Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному: розроблено схему декомпозиції матриць нерегулярної структури; розроблено та досліджено нові гібридні алгоритми розв’язування часткової узагальненої алгебраїчної проблеми власних значень розріджених симетричних додатно визначених матриць – поперемінно-трикутного методу, методу спряжених градієнтів, а також методу ітерацій на підпросторі; отримано характеристики ефективності та прискорення гібридних алгоритмів; створено програмне забезпечення на основі нових алгоритмів для гібридних комп’ютерів та паралельних комп’ютерів з новітніми хост-процесорами Intel Xeon Phi. Проведено апробацію створеного алгоритмічно-програмного забезпечення при розв’язуванні тестових задач та задачі стійкості шаруватого двокомпонентного композитного матеріалу, що зводиться до розв’язування часткової узагальненої проблеми власних значень. Розроблене алгоритмічно-програмне забезпечення для дослідження та розв’язання часткової узагальненої проблеми власних значень розріджених матриць входить до складу бібліотеки інтелектуальних програм з обчислювальної математики Inparlib, що є штатним програмним забезпеченням інтелектуальних комп’ютерів серій Інпарком та СКІТ в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України. Результати дисертації було використано в Інституті механіки імені С.П. Тимошенка НАН України при моделюванні задачі стійкості композитного матеріалу. Одержано прискорення обчислювального процесу до 50 раз.