Сидоров М. В. Методи двобічних наближень розв’язання деяких класів нелінійних задач математичної фізики

Об’єкт дослідження – процеси, математичними моделями яких є задачі для напівлінійних еліптичних рівнянь, систем напівлінійних еліптичних рівнянь і напівлінійних параболічних рівнянь. Мета роботи – розробка двобічних ітераційних методів розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння та системи напівлінійних еліптичних рівнянь і методу розв’язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння на основі сумісного застосування методів Роте і двобічних наближень. Методи дослідження: методи теорії нелінійних операторних рівнянь у напівупорядкованих просторах, методи математичної фізики, конструктивний апарат теорії R-функцій. Теоретичні і практичні результати – отримані у роботі результати у сукупності є розв’язанням наукової проблеми побудови методів двобічних наближень розв’язання задач для нелінійних рівнянь математичної фізики, а саме, уроботі розроблено двобічні ітераційні методи розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння та системи напівлінійних еліптичних рівнянь і напівдискретний метод розв’язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння на основі сумісного використання методів Роте та двобічних наближень. Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше введено поняття квазіфункції Гріна-Рвачова першої крайової задачі для невироджуваного еліптичного оператора другого порядку і з її допомогою отримано інтегральне рівняння, еквівалентне першій крайовій задачі для напівлінійного еліптичного рівняння, та систему інтегральних рівнянь, еквівалентну першій крайовій задачі для системи напівлінійних еліптичних рівнянь, у областях, геометрію яких можна аналітично описати за допомогою конструктивних засобів теорії R-функцій; вперше виділено клас напівлінійних звичайних диференціальних рівнянь, перша крайова задача для яких дозволяє її подання (за допомогою функції Гріна) у вигляді нелінійного операторного рівняння з оператором гетеротонного типу, і клас напівлінійних еліптичних рівнянь та систем напівлінійних еліптичних рівнянь, перша крайова задача для яких дозволяє її подання (за допомогою функції Гріна чи квазіфункції Гріна-Рвачова) у вигляді нелінійного операторного рівняння з оператором гетеротонного типу, що дозволяє будувати двобічні ітераційні методи знаходження додатних розв’язків цих задач; отримав подальший розвиток метод двобічних наближень розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного звичайного диференціального рівняння на основі використання функції Гріна в частині його застосування до рівнянь більш загального вигляду; отримав подальший розвиток метод двобічних наближень розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання функції Гріна в частині його застосування до рівнянь більш загального вигляду; вперше розроблено метод двобічних наближень розв’язання першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання квазіфункції Гріна-Рвачова; вперше розроблено методи двобічних наближень розв’язання першої крайової задачі для системи напівлінійних еліптичних рівнянь на основі використання функції Гріна чи квазіфункції Гріна-Рвачова; вперше на основі сумісного використання методів Роте та двобічних наближень розроблено напівдискретний метод розв’язання першої початково-крайової задачі для напівлінійного параболічного рівняння; вперше з рівнянь з нелінійним коефіцієнтом теплопровідності виділено клас рівнянь, розв’язок першої крайової задачі для яких може бути знайдений методом двобічних наближень, що дало можливість отримати умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та збіжності до нього послідовних наближень; вперше до розв’язання нелінійної задачі Нав’є застосовано метод двобічних наближень, на основі чого отримано умови існування єдиного додатного розв’язку задачі та збіжності до нього послідовних наближень; удосконалено метод побудови сильно інваріантного конусного відрізка в частині використання апарату теорії R-функцій для вибору його нижнього та верхнього кінців, які обираються за початкові наближення при реалізації двобічних ітераційних методів. Результати дисертаційної роботи впроваджено в освітньому процесі Харківського національного університету радіоелектроніки. Отримані результати можуть бути використані при математичному моделюванні процесів, що описуються першою крайовою задачею для напівлінійного еліптичного рівняння та системою напівлінійних еліптичних рівнянь і першою початково-крайовою задачею для напівлінійного параболічного рівняння.