Gladka Z. Inverse scattering transform for the Korteweg - de Vries equation with steplike initial data

The thesis is concerned with the developing of the inverse scattering transform for the integration of the Korteweg-de Vries equation with steplike initial data and for the description of the asymptotical behavior of its solution. The scattering theory is developed for one-dimensional Schrodinger operator on the whole axis with a steplike potential that tends to different real constants on the different half-axes. The direct and inverse problem is solved rigorously, new decaying properties of the reflection coefficients depending on the smoothness of the steplike potential are obtained. By use of the inverse scattering transform, the Cauchy problem for the Korteweg - de Vries equation with steplike initial profile is solved. The long-time asymptotic behavior of the Cauchy problem solution is investigated for the KdV equation with steplike initial data corresponding to the shock wave, and the main terms of asymptotical expansion with respect to time are obtained. Робота присвячена застосуванню метода оберненої задачі розсіювання для інтегрування рівняння Кортевега-де Фріза з початковими даними типу сходинки і опису асимптотичної поведінки його розв'язку. Розвинена теорія розсіювання для одномірного оператора Шрьодінгера на всій осі з потенціалом типу сходинки, що прямує до різних дійсних сталих на різних півосях. Вичерпно розв'язано пряму та обернену задачу розсіювання, отримано покращені оцінки на швидкість спадання коефіцієнтів відбиття на нескінечності залежно від от гладкості потенціалу. Методом оберненої задачі розсіювання розв'язана задача Коші для рівняння Кортевега-де Фріза з початковими даними типу сходинки, з'ясована залежність гладкості и швидкості спадання збурень розв'язків від початкових даних. Вивчена асимптотична поведінка за великим часом розв'язку задачі Коші у випадку початкових даних, що відповідають ударній хвилі, отримані точні формули головного члену асимптотичного розвинення.