Ткаченко О. М. Поліноміальні методи та засоби оцінювання параметрів регресії з використанням моделей негаусових помилок

У роботі вирішена науково-технічна задача застосування і розвитку методів математичного та комп'ютерного моделювання процесів оцінювання параметрів регресії за умови негаусового характеру їх помилок. Запропоновано новий підхід до адаптивного знаходження оцінок параметрів на основі використання для опису випадкової складової регресійних моделей статистик вищих порядків, що надало можливість реалізаційно просто враховувати відхилення від гаусової ідеалізації в процесі синтезу та аналізу ефективності результуючих методів. На основі апарату стохастичних поліномів Кунченка та отриманих із використанням моментно-кумулянтних опису модифікацій регресійних моделей здійснено синтез обчислювальних методів адаптивного оцінювання параметрів регресійних моделей лінійного, поліноміального і нелінійного типу. Показано, що загальна задача, алгоритмічно може бути зведена до розв’язання системи нелінійних стохастичних рівнянь із застосуванням чисельної ітераційної процедури Ньютона-Рафсона. Проведено аналіз властивостей поліноміальних оцінок за умови асиметричного та симетричного характеру негаусових помилок та здійснено порівняння їх ефективності із класичними оцінками найменших квадратів та максимальної правдоподібності. Показано, що застосування запропонованого підходу забезпечує зменшення дисперсії поліноміальних оцінок, порівняно із відомими оцінками методу найменших квадратів, а зростання точності досягається завдяки врахуванню негаусовості регресійних помилок. Розроблений програмний комплекс, його структура та набір модулів забезпечують як безпосереднє вирішення задачі знаходження адаптивних оцінок параметрів регресійних залежностей так і реалізацією комп’ютерного статистичного моделювання на основі методу Монте-Карло і бутстреп-аналізу. Сукупність отриманих результатів статистичного моделювання підтверджує теоретично доведену ефективність поліноміальних оцінок. На прикладі моделі помилок з експоненційним степеневим розподілом показано, що при відсутності апріорної інформації про значення параметрів регресійних помилок адаптивні поліноміальні оцінки можуть бути більш точними навіть порівняно із адаптивними оцінкам максимальної правдоподібності. Наукова новизна дисертаційної роботи полягає у створенні методів математичного моделювання процесів оцінювання параметрів регресійних залежностей при негаусовому розподілі їх випадкових помилок на основі використання статистик вищих порядків, методу максимізації полінома (методу Кунченка), що дозволяє зменшити дисперсію інформативних оцінок параметрів і забезпечує високу якість статистичного опрацювання в комп’ютерних системах. Практична цінність одержаних результатів визначається тим, що отримані методи та засоби математичного і комп’ютерного моделювання дали змогу: розробити методику отримання адаптивних оцінок інформативних параметрів регресійних залежностей при асиметричному і симетричному характері їх випадкових помилок, яка може бути використана для побудови нових обчислювальних алгоритмів аналізу даних; синтезувати нові методи оцінювання параметрів однофакторних і багатофакторних лінійних, поліноміальних та нелінійних регресійних залежностей, які дають змогу враховувати негаусовість регресійних залишків; провести аналіз можливості та ефективності застосування чисельного методу Ньютона-Рафсона та його модифікацій для розв’язку систем нелінійних рівнянь методу максимізації поліномів для знаходження оцінок інформативних параметрів лінійних та нелінійних регресійних залежностей; розробити методику та отримати аналітичні вирази для визначення теоретичної точності поліноміальних оцінок, з використанням яких можна здійснювати порівняльний аналіз відносно оцінок класичними методами найменших квадратів та максимальної правдоподібності. На основі використання програмного пакету MATLAB і спеціалізованої для аналізу даних мови високого рівня R розроблено програмні засоби, які можуть бути використані для вирішення задач статистичного моделювання знаходження оцінок параметрів регресійних залежностей.