У роботі вирішена актуальна наукова проблема механіки деформівного твердого тіла, яка полягає в побудові нових ефективних варіантів математичної теорії (МТ) нетонких фізично лінійних і нелінійних за Каудерером однорідних і шаруватих пластин та пологих оболонок при довільному статичному поперечному навантаженні з позицій тривимірної теорії пружності, розробленні нових аналітичних точних і наближених методів розв'язання систем диференціальних рівнянь (ДР) рівноваги високих порядків, отриманні частинних і загальних розв'язків граничних задач варіантів МТ вказаних елементів та числових залежностей на-пружено-деформованого стану (НДС) від механіко-геометричних характеристик, типу навантаження, граничних умов і наближень у побудованих варіантах. Суттєвим у вирішенні наукової проблеми є те, що побудовані варіанти МТ дають реальну можливість аналітичного розв'язання граничних задач для вказаних елементів і визначення НДС з високою точністю.
Побудова нових варіантів МТ вказаних елементів основана на комплексному методі зведення тривимірної задачі до двовимірної, який поєднує варіаційний принцип Рейснера, метод розвинення усіх компонент НДС і граничних умов, як функцій трьох змінних, у нескінченні ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра (для однорідних еле-ментів) і їх комбінацій у межах кожного шару (для шаруватих елементів), точне задоволення граничних умов на лицевих площинах (поверхнях) і умов жорсткого зчеплення шарів, узагальнену методику взаємопов'язаних рівнянь, метод збурень (для однорідних ортотропних та ізотропних фізично нелінійних пластин і пологих оболонок) і послідовних наближень (для шаруватих нелінійно пружних пластин і пологих оболонок). Тривимірна задача статики для нетонких однорідних ортотропних та ізотропних фізично нелінійних пластин і пологих оболонок (нелінійно пружних шаруватих елементів) на основі МТ методом збурень (послідовних наближень) зведена до нескінченної рекурентної послідовності двовимірних лінійних крайових задач. Розроблені: 1) нові методи інтегрування неоднорідних систем ДР високих порядків МТ нетонких пластин і пологих оболонок, основані на математичних перетвореннях ДР і зведенні їх до однорідних і неоднорідних ДР 2-го порядку (для пологих оболонок з використанням методів збурень і послідовних наближень); 2) нові наближені методи розв'язання отриманих систем ДР. Розвинуті методи математичної фізики. Отримані в явному вигляді системи ДР рівно-ваги у високих наближеннях для вказаних елементів, частинні і загальні розв'язки граничних задач при поперечних навантаженнях різного типу і числові результати, які дали можливість одержати з високою точністю НДС і нові якісні ефекти впливу на нього механіко-геометричних характеристик, типу навантажень, граничних умов і наближень варіантів МТ.
Ключові слова: нові варіанти математичної теорії, нетонкі лінійно і нелінійно пружні однорідні та шаруваті пластини і пологі оболонки, поліноми Лежандра, варіаційний принцип Рейснера, диференціальні рівняння високих порядків, методи, загальні розв'язки, напружено-деформований стан, крайові ефекти.
