Скрипник Т. В. Метод некососиметричних r-матриць та нові інтегровні класичні і квантові системи

Дисертація присвячена розробці методів теорії скінченно-вимірних класичних та квантових інтегровних систем, теорії рівнянь солітонного типу, а також теорії нескінченновимірних алгебр Лі їх прихованих симетрій. Ключовим об'єктом дослідженння є класична r-матриця r(u,v) зі спектральними параметрами. В дисертації побудовані нові приклади некососиметричних матриць. Використовуючи r-матрицю в дисертації, явно побудовані нескінченновимірні квазігардуйовані алгебри Лі з розкладом Костанта – Адлера – Саймса що слугують алгебрами прихованих симетрій широкого класу інтеговних систем що допускають представлення Лакса. Побудовані явні формули для всеможливих мероморфних матриць Лакса скінченно-вимірних інтегровних систем та явні формули для U-V–пар рівнянь солітонного типу що пов'язані з данною класичною r-матрицею. Показано, що редукція, як в скінченно-вимірних інтегровних системах, так і в рівняннях солітонного типу, пов'язана з особливими значеннями спектральних параметрів при яких r-матриця стає виродженою. Побудовано нові приклади скінченно-вимірних інтегровних систем та рівнянь солітонного типу пов'язаних з класичними (некососиметричними) r-матрицями. Зокрема, побудовані інтегровні модифікації ланцюжків Тоди та полів Тоди у двох вимірах. У дисертації також показано, що квантові інтегровні системи можуть бути асоційовані з загальними некососиметричними r- матрицями зі спектральними параметрами. Побудовані нові приклади таких систем. Серед них узагальнені системи Годена та узагальнені системи Годена у зовнішньому полі, інтегровні багато – рівневі узагальнення моделей Джейнса –Камингса – Діке з багатьма модами та багатобозонні узагальнення димерів Бозе – Хаббарда. Для випадку алгебр gl(2) розвинуто метод алгебраїчного анзацу Бете що базується на загальних некососиметричнимх r-матрицях. У випадку алгебр gl(n), n>2 розглянуто ієрархічну версію анзаца Бете базованому як на стандартному ланцюжку підалгебр gl(n)> gl(n-1)> ...> gl(1), так і на всеможливих нестандартних ланцюжках підалгебр сумісних з обмеженнями gl(n)> gl(n-k)+ gl(k). Таким чином знайдено спектр широкого класу квантово –інтегровних моделей. Зокрема, знайдено спектр Zp – градуйованих моделей типу Годена з та без зовнішнього магнітного поля, моделей Джейнса – Камингса – Діке та узагальнених багато-бозонних димерів Бозе – Хаббарда.