Халанчук Л.В. Структуровані дискретні моделі для розв’язку крайових задач. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 Прикладна математика. – Запорізький національний університет, Запоріжжя, 2021.
Об’єктом дослідження є структуровані та блочно-структуровані сітки для геометричних моделей.
Предмет дослідження – методи генерації структурованих та блочно-структурованих сіток геометричних моделей.
Метою дисертаційної роботи є розробка математичного апарату для побудови структурованих та блочно-структурованих сіток із заданими параметрами згущення та гарантією якості моделі. Для реалізації поставленої мети в роботі поставлено наступні основні задачі:
- розробити і виконати апробацію методу отримання структурованих дискретних математичних моделей, що виконані на чотирикутних скінченних елементах, для двовимірних геометричних об’єктів за допомогою рівняння Пуассона;
- розробити методи оптимізації генерації структурованих дискретних моделей геометричних об’єктів за рахунок вибору способу початкового розбиття;
- розробити підходи до керування формою та інтенсивністю згущення ліній сітки до заданої зони моделі двовимірного та тривимірного геометричного об’єкта.
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, зазначено зв’язок роботи з науково-технічними проектами, сформульовано мету і завдання дослідження, визначено об’єкт, предмет та методи дослідження, показано наукову новизну та практичне значення отриманих результатів, наведено інформацію про практичне використання доробку, особистий внесок здобувача, апробацію результатів дослідження та їх висвітлення у наукових публікаціях.
В першому розділі проведено огляд сучасного стану генерації структурованих дискретних моделей, а саме: описано основні кроки для побудови сітки; розглянуто алгебраїчні, еліптичні, варіаційні, гіперболічні методи генерації структурованих та блочно-структурованих сіток; проаналізовано спеціальні програмні засоби, за допомогою яких відбувається комп’ютерна генерація сіток; наведено чисельні методи, що використовуються при генерації сіток; проаналізовано методи деформації сітки; досліджено широке коло об’єктів і процесів, для моделювання якого використовуються структуровані сітки. Проведено генерацію структурованої сітки щільності ймовірності знаходження електрона в заданій області різноманітних квантових точок з різними хвильовими числами.
В другому розділі розроблено математичний апарат для побудови структурованих сіток у вільно розповсюджуваному пакеті програм Scilab диференціальним методом на прикладі рівняння Пуассона із заданими параметрами згущення контрольних функцій та гарантією якості моделі. Емпіричним методом досліджено вплив геометрії області та вибір методу побудови початкової сітки на швидкість генерації заданої структурованої моделі даної області еліптичним методом, також досліджено залежність між значеннями змінних розрахункової та фізичної областей та вплив геометрії області на цю залежність.
В третьому розділі було досліджено вплив параметрів контрольних функцій рівняння Пуассона на згущення сітки поверхонь різних типів. Більш детально розглянуто поверхні обертання, оскільки такі поверхні широко використовуються в сучасній технічній промисловості, а саме: авіабудування, ракетобудування та ін. Тому було досліджено згущення сітки на поверхнях циліндра, конуса, також на місці з’єднання циліндричної та конічної, циліндричної та сферичної, двох конічних поверхонь. Також досліджено згущення сітки на поверхні, що моделює щільність ймовірності знаходження електрона в заданій області квантової точки на прикладі кубічної квантової точки.
В четвертому розділі розглянуто генерацію структурованих дискретних моделей для перерізів тривимірних геометричних об’єктів. Дослідження проведено на прикладі перерізу кутового та прямого з’єднання двох балок. Показано розв’язок крайової задачі вигину тонкої пластинки, розв’язано різницевими схемами рівняння Софі Жермен, виконано згущення сітки до певних зон побудови для різних форм пластинки.
У висновках наголошено, що розроблені в дисертаційній роботі методи генерації структурованих дискретних моделей геометричних об’єктів дозволяють якісно підвищити результати математичного моделювання, використовувати їх при аналізі та оптимізації інженерних конструкцій. Під час розв’язання задач дисертаційного дослідження було створено програмний продукт у вільно розповсюджуваному пакеті інженерних програм Scilab, що дозволяє еліптичним методом автоматизувати генерацію структурованих дискретних моделей геометричних об’єктів таких, як двовимірні криволінійні чотирикутники, поверхні тіл, перерізи тривимірних об’єктів. Отримані розв’язки задач дисертаційного дослідження можуть бути використані конструкторськими організаціями та виробництвами як додатки математичного моделювання геометричних об’єктів.
