Лутфуллін М. В. Реалізації алгебр Лі невисоких розмірностей та інваріантні системи нелінійних диференціальних рівнянь

Проведена класифікація реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності не вищої за чотири в просторі довільної скінченної кількості змінних. Kласифіковано реалізації алгебри AO(3) в просторі n комплексних змінних. Побудовано повний прелік реалізацій алгебри AE(3) в просторі 3 незалежних та n залежних комплексних змінних. Знайдено всі нееквівалентні реалізації алгебри Лоренца AO(1,3) в просторі довільної кількості комплексних змінних. Описано коваріантні реалізації алгебри Пуанкаре AP(1,3) в просторі 4 дійсних незалежних та n залежних комплексних змінних. Знайдено функціональний базис диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4, описано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4. Для однієї з реалізацій алгебри Евкліда побудовано функціональний базис диференціальних інваріантів першого порядку і знайдено загальний вигляд інваріантної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними. Побудовано ряд нових точних розв'язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Проведено відокремлення змінних у системі рівнянь Шредінгера-Максвелла.