Ловейкін Ю. В. Дослідження багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних

Дисертація присячена дослідженню багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних. В роботі доведено теорему про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем, інтегровних в узагальненому сенсі. Показано, що інваріантні тори збуреної локально гамільтонової системи утворюють гладку в сенсі Вітні сім'ю. Доведена теорема дозволила встановити існування тривимірних коізотропних інваріантних торів у чотиривимірному фазовому просторі лагранжевої системи, яка описує рух електрона на двовимірному торі під впливом електромагнітного поля. Досліджено окіл квазістаціонарного положення локально гамільтонової системи, одержаної збуренням локально гамільтоновим векторним полем системи, інтегровної за Ліувіллем, та одночасним деформуванням симплектичної структури. Встановлено, що при досить малому значенні малого параметра від тора незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарному положенню, відгалужується канторова множина коізотропних інваріантних торів більшої розмірності. Доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних. Досліджена біфуркація інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях цілком інтегровних систем у випадку існування невиродженого квазістаціонарного положення загального типу. Також розглянута задача про збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровної локально гамільтонової системи.