Головатий Ю. Д. Сингулярно збурені диференціальні оператори у моделях квантової механіки

Дисертаційна робота присвячена побудові та дослідженню математичних моделей, які описують явища квантової механіки. Метою роботи є побудова так званих точних моделей, які дають не лише якісний опис реального процесу, але й їх можна відносно просто розв'язати, отримавши кількісні характеристики. В праці побудовано математичну теорію одновимірного атома водню: знайдено умови збіжності сімей операторів Шрединґера з різноманітними регуляризаціями потенціалів типу Кулона, побудовано клас точних моделей і доведено, що вибір точної моделі критично залежить від форми регуляризації. Також розв'язано проблему δʹ-потенціалу для одно- та двовимірних операторів Шрединґера: встановлено рівномірну резольвентну збіжність різноманітних сімей операторів Шрединґера з локальними сингулярними збуреннями і конструктивно побудовано граничні оператори, які є найкращим наближенням реального квантово-механічного процесу в класі гамільтоніанів з точковими взаємодіями чи взаємодіями на одновимірних многовидах. Проведено асимптотичний аналіз спектрів операторів Шрединґера з локальними збуреннями потенціалів, операторів Штурма-Ліувілля зі сингулярними збуреннями вагових функцій та операторів еліптичних крайових задач зі збуренням вагових функцій в околі замкнених кривих. Знайдено умови існування від'ємних власних значень для одновимірних операторів Шрединґера та умови їхнього поглинання неперервним спектром при малих сталих взаємодії.