Покутний О. О. Обмежені на всій осі розв'язки диференціальних рівнянь в банаховому просторі

Дисертаційна робота присвячена знаходженню умови існування обмежених на всій осі R розв'язків лінійних неоднорідних, слабко збурених лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі, лінійна частина яких є обмеженою оператор-функцією. Отримано умови існування обмежених на всій осі R розв'язків лінійного неоднорідного рівняння в банаховому просторі у випадку, коли однорідне рівняння є експоненціально- дихотомічним на півосях. Отримано умови, коли породжуючий оператор диференціального рівняння може бути нормально-розв'язним. Використовуючи теорію псевдообернених операторів, обмежені розв'язки рівняння представлено за допомогою узагальненого оператора Гріна. Для лінійних слабко збурених диференціальних рівнянь знайдено достатню умову існування множини обмежених на R розв'язків у двох випадках: коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки; коли породжуюче рівняння не має обмежених розв'язків. Запропоновано спосіб відшукання обмежених на всій осі розв'язків у вигляді частини ряду Лорана за степенями e. Отримано оцінку потужності множини обмежених розв'язків. Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь у випадку, коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови обмежених на всій осі розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі. 2. Диссертационная работа посвящена исследованию условий существования и построению ограниченных на всей действительной оси решений линейных, слабо возмущенных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, линейная часть которых есть ограниченная оператор-функция. Во вступлении анализируется состояние научной проблемы, обосновывается актуальность выбранной тематики. Первый раздел посвящен обзору литературы по диссертационной теме, приведены необходимые сведения из теории псевдообратных операторов и ограниченных решений в банаховом пространстве, которые используются при получении основных результатов диссертации. Во втором разделе диссертационной работы получены необходимые и достаточные условия существования ограниченных на всей оси R решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве в случае, когда соответствующее однородное уравнение допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях. Оператор, соответствующий однородному дифференциальному уравнению, является нормально-разрешимым. Соответствующие ограниченные решения представлены при помощи обобщенного оператора Грина. Изучены дополнительные свойства условий разрешимости и ограниченных на всей оси R решений в случае, когда оператор, соответствующий однородному дифференциальному уравнению, является n-нормальным, d-нормальным, нетеровым или фредгольмовым. Основные результаты проиллюстрированы на простейших счетных системах дифференциальных уравнений. Для слабо линейного дифференциального уравнения в третьем разделе получены достаточные условия существования хотя бы одного ограниченного на всей действительной оси решения в двух случаях: когда порождающее уравнение имеет ограниченные решения и когда порождающее уравнение не имеет ограниченных решений. Эти решения найдены в виде части ряда Лорана или степенного ряда по степеням , абсолютно сходящегося при фиксированных значениях малого параметра . Получена оценка мощности линейно независимых ограниченных на R решений для таких уравнений. В четвертом разделе получены необходимые и достаточные условия существования ограниченных на всей действительной оси решений слабо нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве для случая, когда соответствующее порождающее уравнение имеет ограниченные решения. Предложены сходящиеся итерационные алгоритмы построения таких решений. Установлена взаимосвязь между необходимыми и достаточными условиями. 3.The thesis is devoted to obtaining conditions for existence of solutions bounded on the whole axis R of linear nonhomogeneous, weakly perturbed linear and nonlinear differential equations in Banach space with bounded linear part . Conditions for existence of solutions bounded on the whole axis R are obtained for a linear nonhomogeneous differential equation under the assumption that the corresponding homogeneous equation has an exponential dichotomy on both semiaxes. Bounded solutions of equations can be found using the theory of pseudo-inverse operators by means of generalized Green's operator. Sufficient condition for existence of set of bounded solutions of weakly perturbed linear differential equation was obtained for the case when generating equation has or has no bounded solutions. A method for finding bounded on R solutions in the form of Laurent series by power e was proposed. The cardinality of the set of bounded solutions was estimated. Conditions for existence of bounded solutions of weakly nonlinear differential equations were found for under the assumption that generating equation has bounded solutions. Converging iterative algorithms for finding bounded on the whole axis solutions of weakly nonlinear differential equations in Banach spaces were proposed.