Храбустовський А. В. Усереднення спектральних і еволюційних задач на ріманових многовидах складної мікроструктури

Об'єкти дослідження: cпектр оператора Лапласа-Бельтрамі, задача Коші для хвильового рівняння, системи реакції-дифузії, що моделюють процеси дифузії і реакції часток кількох видів. Мета дослідження: усереднення спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах складної мікроструктури, усереднення хвильового рівняння на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури, доведення принципу максимуму, збереження позитивності і стабілізації розв'язків для систем реакції-дифузії. Методи дослідження: варіаційні методи теорії усереднення, методи функціонального аналізу і теорії функцій комплексної змінної, методи спектральної теорії операторів у гільбертових просторах. Отримані результати: 1) Описано асимптотичну поведінку спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидів складної мікроструктури трьох якісно різних типів. Для кожного типу знайдено усереднений оператор; 2) Отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на псевдорімановому многовиді зі спеціальною метрикою, коефіцієнти якої зростають на частині многовиду. Показано, що у результаті усереднення в рівнянні виникає член типу потенціалу; 3) Для систем реакції-дифузії методами теорії усереднення на многовидах доведено принцип максимуму, збереження позитивності розв'язків, стабілізацію розв'язків до константи, яку знайдено в явному вигляді. Всі результати роботи є новими. Результати мають теоретичний характер і можуть бути використані при досліджені інших задач усереднення на ріманових многовидах. Методика, застосована для дослідження властивостей систем реакції-дифузії, може бути застосована для якісного аналізу інших рівнянь математичної фізики.