Скороходов Д. С. Нерівності типу Колмогорова для функцій однієї змінної та їх застосування

Об'єкт - лінійні та диференціальні оператори, класи кратно монотонних та абсолютно монотонних функцій, клас S. Мета - знаходження точних нерівностей для похідних функцій зі спеціальних функціональних класів, розв'язок задачі про наближення необмежених операторів лінійними операторами, обмеженими на цих класах, розв'язок задачі Колмогорова для трьох чисел. В роботі використовуються загальні методи розв'язування екстремальних задач теорії наближення, методи доведення нерівностей типу Колмогорова, методи оцінювання найкращого наближення необмежених операторів лінійними обмеженими операторами, а також загальні факти функціонального аналізу, теорії функцій та теорії векторних полів на площині. В дисертації досліджуються точні нерівності для похідних функцій, що належать спеціальним функціональним класам, розв'язуються задачі про знаходження величини найкращого наближення операторів диференціювання лінійними операторами, обмеженими на цих класах, знаходяться необхідні та достатні умови в задачі Колмогорова для трьох чисел. Знайдено точні нерівності для похідних та дробових похідних кратно монотонних, абсолютно монотонних на напівосі функцій та функцій з класу S. Розв'язано задачу про найкраще наближення операторів диференціювання лінійними операторами, обмеженими на вказанних функціональних класах. Розв'язано задачу Колмогорова для трьох чисел на вказанних функціональних класах та на класі абсолютно монотонних на відрізку функцій. Показано, що узагальнена задача Колмогорова для трьох чисел, яка полягає в знаходженні необхідних та достатніх умов для того, щоб задані три додатні числа були нормами деякого елемента нормованого простору та його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях, в певному сенсі еквівалентна встановленню абстрактних версій точних нерівностей типу Колмогорова для лінійних відображень. Результати дисертації можна використати для вивчення властивостей операторів диференціювання на спеціальних класах функцій, для розв'язку задачі Колмогорова для трьох чисел, а також для наближеного обчислення похідних.