Олевська Ю. Б. Про спектри інтегральних операторів в просторах функцій багатьох змінних та їх застосування

Об'єкт - послідовності сингулярних чисел інтегрального оператора Фредгольма, який діє у просторах функцій багатьох змінних, коефіцієнти Фур'є і Фур'є-Уолша функцій багатьох змінних. Мета - дослідити поведінку сингулярних чисел компактних інтегральних операторів Фредгольма, що діють у гільбертових просторах функцій багатьох змінних, у залежності від властивостей ядер, що породжують ці оператори (зокрема, від гладкості та варіації ядер), з'ясувати швидкість прямування до нуля коефіцієнтів Фур'є періодичних функцій багатьох змінних, а також коефіцієнтів Фур'є-Уолша функцій. Вивчити, зокрема, поведінку коефіцієнтів Фур'є з номерами, що належать багатовимірній гратці з цілими компонентами, встановити зв'язок між гладкістю функції багатьох змінних і множинами номерів коефіцієнтів Фур'є, для яких ці коефіцієнти мають мінімальну швидкість спадання. У роботі використовуються методи теорії операторів в гільбертових просторах, теорії рядів Фур'є, аналітичної теорії чисел. Робота присвячена оцінкам зверху сингулярних чисел інтегральних операторів Фредгольма, а також коефіцієнтів Фур'є і Фур'є-Уолша функцій. Введено р-к-варіацію функцій багатьох змінних. Встановлено зв'язок швидкості спадання до нуля сингулярних чисел інтегрального оператора з властивостями ядра цього оператора, доведено теореми про швидкість спадання коефіцієнтів Фур'є і Фур'є-Уолша функцій. Досліджена асимптотична щільність множин номерів коефіцієнтів Фур'є, на яких досягається мінімальний порядок їх спадання. Дисертація має теоретичний характер. Одержані результати можна застосувати для подальшого розвитку теорії лінійних інтегральних операторів Фредгольма. Введене нове поняття р-к-варіації може знайти застосування у дослідженні різноманітних питань теорії функцій. Нові оцінки швидкості спадання коефіцієнтів Фур'є корисні у задачах, де використовуються методи і результати гармонійного аналізу.