Мінаков О. О. Задачі Рімана - Гільберта і модифіковане рівняння Кортевега - де Фріза: асимптотичний аналіз розв'язків з початковими даними типу сходинки

Метою роботи є побудова розв'язків модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза типу сходинки за допомогою відповідної матричної задачі Рімана - Гільберта та розробка аналітичного методу дослідження асимптотичної поведінки за великим часом як задач Рімана - Гільберта, так і розв'язків модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза. Об'єктом дослідження є модифіковане рівняння Кортевега - де Фріза. Всі отримані в роботі результати є новими. Основними є наступні. Запропоновано алгоритм побудови сукупності матричних задач Рімана - Гільберта, що приводять до розв'язків модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза типу сходинки. Доведено теореми існування і єдиності розв'язків задач Рімана - Гільберта, що належать до цієї сукупності, і встановлено гладкість розв'язків по відношенню до зовнішніх параметрів (простору - часу). Вивчено асимптотику за великим часом розв'язку матричної задачі Рімана - Гільберта. Для цього знайдено відповідні розкладання на множники матриць спряження, побудовано перетворення контурів, сконструйовано відповідні фазові функції. Завдяки цьому задача зведена до модельних задач, що допускають розв'язок в явному вигляді через елементарні і спеціальні функції. Отримано явні формули для розв'язків виникаючих модельних задач за допомогою еліптичних, гіпереліптичних функцій та функцій параболічного циліндру, що приводять до відповідних явних асимптотичних формул для розв'язків модифікованого рівняння Кортевега - де Фріза.