Калашніков А. В. Сингулярні та ніде не монотонні функції як розв'язки систем функціональних рівнянь

Дисертаційна робота присвячена неперервним на відрізку [0,1] функціям зі складною локальною будовою - сингулярним, ніде не монотонним та ніде не диференційовним функціям, які є розв'язками деякого класу систем функціональних рівнянь. На основі аналізу структурних, самоподібних та самоафінних властивостей відомих строго зростаючих сингулярних функцій Салема, Салема-Такача та Мінковського, функціональних співвідношень, які вони задовольняють, будуються узагальнення з наступним вивченням їх екстремальних, диференціальних, інтегральних та фрактальних властивостей. Всім розглядуваним функціям дано коректні означення через системи функцiональних рiвнянь - як неперервних їх розв'язків. Перехід від s-кового зображення дійсного числа до Q-зображення, що є узагальненням попереднього, не привів до втрати неперервності, а використання при цьому знакозмінних рядів збагатило родину функцій сингулярними немонотонними, ніде не монотонними та недиференційовними функціями. Встановлені у дисертації фрактальні властивості досліджуваних функцій - самоафінність їхніх графіків (як наслідок самоподібності геометрії Q-зображення) сприяли вивченню локальних та глобальних їх властивостей, і дозволили обчислити інтеграли Лебега. У роботі запропоновано однопараметричне узагальнення сингулярної функції Мінковського, яка визначається в термінах елементарних ланцюгових дробів і знакозмінних двійкових рядів (спеціального кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом). Доведено, що кожен представник цієї сім'ї є строго зростаючою сингулярною функцією, тобто неперервною функцією, похідна якої в розумінні міри Лебега рівна нулю.