Аноп А. В. Еліптичні крайові задачі у просторах узагальненої гладкості

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 --- диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2014. У дисертаційній роботі досліджено властивості загальних еліптичних крайових задач у гільбертових просторах узагальненої гладкості, які утворюють розширену соболєвську шкалу. Вона складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів Соболєва, і припускає опис у термінах функціональних просторів Хермандера. В розширеній соболєвській шкалі досліджено характер розв'язності і властивості розв'язків еліптичних крайових задач, як регулярних так і нерегулярних. Доведено теореми про нетеровість операторів, відповідних цим задачам, апріорні оцінки їх розв'язків і локальну регулярність розв'язків у просторах Хермандера. Як застосування цієї шкали, знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених частинних похідних (заданого порядку) розв'язків, зокрема, умови класичності узагальнених розв'язків. Доведено також теорему про нетеровість операторів, відповідних формально змішаним еліптичним крайовим задачам в розширеній соболєвській шкалі на многозв'язній евклідовій області. Для еліптичних з параметром крайових задач доведено, що відповідні ним оператори є ізоморфізмами в розширеній соболєвській шкалі, якщо комплексний параметр достатньо великий за модулем. Встановлено нові двобічні апріорні оцінки розв'язків цих задач. Для еліптичних крайових задач для систем диференціальних рівнянь доведено теореми про нетеровість відповідних операторів в розширеній соболєвській шкалі, апріорні оцінки розв'язків та їх локальну регулярність.