Климчук С. О. Фрактальні властивості функції середнього значення цифр s-кового зображення числа

Дисертація присвячена дослідженню функції r середнього значення цифр s-кового зображення дробової частини дійсного числа, зокрема вивченню тополого-метричних і фрактальних властивостей суттєвих для неї множин, включаючи рівні. У роботі проведено детальний аналіз двостороннього зв'язку між середнім значенням цифр s-кового зображення числа і частотами його цифр. Для довільного y з відрізка [0;s-1] вказано алгоритм побудови числа x з відрізка [0;1] такого, що y=r(x). Проведено тополого-метричний аналіз властивостей рівнів функції r. Доведено, що функція r є майже скрізь (у розумінні міри Лебега) константою, а її рівні мають повний спектр розмірностей Гаусдорфа-Безиковича. Введено в розгляд перетворення піввідрізка [0;1) і функції, які зберігають середнє значення цифр трійкового зображення чисел. З'ясовано їх зв'язок з перетвореннями і функціями, які зберігають частоти цифр та фрактальну розмірність Гаусдорфа-Безиковича. Побудовано приклади функцій, які зберігають середнє значення цифр числа, але не зберігають частот його цифр, а також функцій, які зберігають середнє значення цифр числа, коли частоти цифр не існують.