Чепурухіна І. С. Еліптичні за Лавруком крайові задачі у просторах Хермандера

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 --- диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2015. У дисертаційній роботі побудовано теорію розв'язності еліптичних за Лавруком крайових задач у класах гільбертових просторів Хермандера~--- розширеній соболєвській шкалі та уточненій соболєвській шкалі. На відміну від класичних еліптичних крайових задач, еліптичні за Лавруком задачі містять додаткові невідомі функції у крайових умовах. Розширена соболєвська шкала складається з усіх гільбертових просторів Хермандера, для яких показником регулярності розподілів служить функціональний параметр, RO-змінний за Авакумовичем на нескінченності. Її важливий підклас~--- уточнена соболєвська шкала~--- прив'язана до гільбертової соболєвської шкали числовим параметром. Ці шкали просторів Хермандера більш тонко градуйовані за допомогою функціонального параметра, ніж зазначена соболєвська шкала. Їх застосування дозволяє отримати більш точні результати про властивості еліптичних задач, ніж це можливо у межах теорії соболєвських просторів. У дисертації доведено теореми про нетеровість еліптичних за Лавруком крайових задач у підходящих парах просторів Хермандера, які належать до розширеної соболєвської шкали і складаються з регулярних розподілів, та про породжені цими задачами набори ізоморфізмів. Встановлено теореми про нетеровість цих задач і породжені ними ізоморфізми у повній уточненій соболєвській шкалі, модифікованій за Ройтбергом. Доведено теорему типу Ліонса-Мадженеса про нетеровість цих задач у просторах Хермандера і Соболєва, які містять нерегулярні розподіли довільного від'ємного порядку. Встановлено апріорні оцінки узагальнених розв'язків еліптичних за Лавруком крайових задач у просторах Хермандера та їх модифікаціях за Ройтбергом. Доведено теореми про регулярність розв'язків у цих просторах. Знайдено нові достатні умови неперервності узагальнених похідних (заданого порядку) цих розв'язків, зокрема, достатні умови класичності узагальнених розв'язків.