Андреєв К. М. Хвилі розрідження для рівняння Кортевега-де Фріза: асимптотики та інтеграли руху

Дисертацію присвячено дослідженню розв'язку задачі Коші для рівняння Котревега - де Фріза з початковими данними типу сходинки, що відповідають хвилі розрідження. Вивчається асимптотична поведінка розв'язку за умови, що змінна часу є додатною і прямує до нескінченності, в режимі, коли просторова та часова змінні прямують до нескінченності так, що їх відношення змінюється слабо. Використовуючи нелінійний метод найшвидшого спуску в застосуванні, досліджено асимптотики розвязку в трьох основних областях просторово-часової півплощини: у солітонній області, у середній області між заднім та переднім хвильовими фронтами, та в області позаду заднього хвильового фронту. Метод використовується у дослідженні векторних осціляційних задач Рімана-Гільберта, асоційованих як з правими, так і з лівими даними розсіювання. Доведено існування та єдиність розв'язків задач Рімана-Гільберта, зокрема - в присутності дискретного спектру та можливого резонансу. Використовуючи механізм лінз та метод g-функцій, розглянуті задачі зведено до еквівалентних їм задач Рімана-Гільберта, де матриці стрибка мало відрізняються від сталих матриць, за винятком малих околів кінечного числа точок деяких екстремумів. Знайдено точні розв'язки відповідних задач Рімана-Гільберта зі сталими матрицями стрибків. Також розв'язано додаткові задачі параметрикса, що пов'язані з поведінкою розв'язку в околах точок екстремумів. Строго обгрунтовано асимптотичне розвинення для хвилі розрідження при великих значеннях часу. Побудовано регуляризовані інтеграли руху у випадку асимптотично періодичних початкових умов задачі Коші для рівняння КдФ. Для асимптотично сталих початкових умов знайдено зображення цих інтегралів через дані розсіювання відповідного оператора Шрьодінгера.