Волянська І. І. Крайові задачі для рівнянь з частинними похідними у плоских областях

У дисертаційній роботі розглянуто задачі з локальними і нелокальними двоточковими та локальними багатоточковими умовами за часовою змінною та певними умовами (періодичності, Діріхле, поведінки на нескінченності) за просторовою змінною для лінійних рівнянь із частинними похідними в обмежених та необмежених двовимірних областях. Загалом, такі задачі є умовно коректними, оскільки їх розв’язність пов’язана з проблемою малих знаменників, яка полягає в тому, що знаменники коефіцієнтів рядів, якими зображуються розв’язки задач, можуть ставати як завгодно малими для нескінченної кількості членів ряду і це спричиняє розбіжність рядів у відповідних функціональних просторах. У дисертації виділено класи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними та класи крайових умов (локальних та нелокальних за часовою змінною), для яких проблема малих знаменників відсутня. Характерною ознакою цих задач є наявність однієї просторової змінної. У роботі проведено огляд праць, близьких до тематики дисертаційного дослідження, а також наведено напрямки розгляду задач, які залишаються недостатньо вивченими. Описано простори Соболєва та простори експоненційного типу для функцій з однією просторовою змінною. Отримано умови однозначої розв’язності задачі Діріхле для диференціального рівняння з частинними похідними, розглянутої у прямокутнику, а також локальної двоточкової задачі для рівняння високого порядку, дослідженої у смузі. Встановлено умови коректної розв’язності нелокальних крайових задач для лінійних рівнянь з частинними похідними у плоских (обмежених та необмежених за просторовою змінною) областях. Досліджено крайову задачу з нелокальними двоточковими умовами за часовою змінною у комплексній області для диференціально-операторного рівняння. Знайдено необхідні і достатні умови єдиності та достатні умови існування розв’язку задач з багатоточковими умовами за часовою змінною в просторах експоненційного типу. Побудовано конструктивні формули для розв’язків досліджуваних задач у вигляді рядів (або інтегралів) Фур’є або рядів Лорана. Описано умови на коефіцієнти рівнянь та параметри крайових умов, виконання яких дозволяє уникнути проблеми малих знаменників при дослідженні гладкості цих розв’язків та забезпечує коректну розв’язність досліджуваних задач у плоских областях. Встановлено асимптотичні оцінки знизу для характеристичних визначників задач на підставі методу виділення домінуючого доданка у їхніх розвиненнях. Розроблено методику двосторонніх оцінок значень функцій від коренів (характеристичних многочленів), які виникають при побудові розв’язків задач. Результати дисертації мають теоретичний характер. Їх можна застосувати у подальших теоретичних дослідженнях крайових задач для рівнянь із частинними похідними та їх систем, а також при дослідженні конкретних задач практики, які моделюються розглянутими задачами.