Протягом багатьох років увагу дослідників привертають математичні моделі найрізноманітніших об'єктів складної природи, еволюція яких відбувається в полі випадкових сил з урахуванням післядії. Найпоширеніші серед таких моделей описуються стохастичними функціонально-диференціальними еволюційними рівняннями з частинними похідними. На відміну від класичних стохастичних диференціальних рівнянь, які можна назвати «звичайними», ці рівняння поєднують в собі риси функціонально-диференціальних рівнянь з частинними похідними і стохастичних рівнянь Іто. Інтерес до цих рівнянь виник практично одночасно в теорії рівнянь з частинними похідними й у теорії випадкових процесів. Велика кількість праць присвячена дослідженню розв'язків таких рівнянь різноманітної стохастичної природи у скінченновимірних і найрізноманітніших нескінченновимірних функціональних просторах. Теорія стохастичних диференціальних рівнянь з частинними похідними є важливим напрямком розвитку сучасної теорії стохастичних рівнянь.
У дисертаційній роботі досліджуються початкові задачі для стохастичних функціонально-диференціальних рівнянь типу реакції-дифузії із частинними похідними, як зі змінною, так і зі сталою функцією запізнення, у гільбертових просторах. Ці рівняння описують еволюцію в часі й усьому просторі процесів зі значеннями в гільбертових просторах. Розв'язок розуміється в «м'якому» сенсі («mild solution»), тобто в термінах спеціальних гільбертовозначних операторів, які його породжують.
Дисертація складається з анотацій українською, англійською й російською мовами, переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів основної частини, висновків, списку використаних джерел і двох додатків.
У вступі зроблено опис основних характеристик дисертаційного дослідження.
Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи.
У другому розділі дисертації досліджуються початкові задачі для стохастичних інтегро-диференціальних рівнянь реакції-дифузії нейтрального типу зі змінним запізненням. Завданням другого розділу є дослідження коректної розв’язності початкових задач для рівнянь такого типу: існування, єдиності й неперервності за початковими даними їх м'яких розв'язків, - у термінах коефіцієнтів рівняння і властивостей їх розв'язків.
Третій розділ присвячений отриманню аналога теореми з піонерської роботи А. В. Скорохода – теореми порівняння розв'язків початкової задачі для двох стохастичних диференціальних рівнянь Іто з однаковими коефіцієнтами дифузії. У ньому досліджується початкова задача для двох стохастичних інтегро-диференціальних рівнянь реакції-дифузії нейтрального типу зі сталим запізненням. Завданням третього розділу є доведення теореми порівняння м'яких розв'язків цієї початкової задачі на підставі ідей із робіт R. Manthey й T. Zausinger і класичної роботи А. В. Скорохода.
У четвертому розділі дисертаційної роботи досліджується асимптотична поведінка на нескінченності розв'язків початкової задачі для стохастичного диференціального рівняння з запізненням із точки зору існування інваріантних мір у спеціальному гільбертовому просторі. Завдання четвертого розділу полягає в реалізації відомого підходу компактності для знаходження коефіцієнтних умов існування ймовірнісної інваріантної міри у спеціальному гільбертовому просторі. В основі цього підходу лежить знаменита теорема Крилова-Боголюбова про існування інваріантної міри для абстрактної марковської динамічної системи. Його основні ідеї застосовуються до досліджуваної задачі. Для реалізації цього підходу в належним чином обраному гільбертовому просторі доводяться існування, єдиність та неперервність за початковими даними розв'язку, марковість, фелеровість, компактність напівгрупи операторів, пов'язаної із рівнянням, і, головне, існування глобально обмеженого за ймовірністю розв'язку.
Перший додаток містить доведення деяких допоміжних тверджень. Другий додаток містить список публікацій здобувача за темою дисертації (двадцять
найменувань) та відомості про апробацію результатів дисертації.
