Коренюк Н. І. Крайовi задачi для параболiчних рiвнянь з особливостями та виродженнями

У дисертації досліджуються модельні крайові задачі для трьох класів лінійних параболічних рівнянь. Перший клас складають параболічні за Ейдельманом системи рівнянь тільки зі старшими членами і сталими коефіцієнтами. Особливістю рівнянь з цього класу є нерівноправність просторових змінних. До другого класу належать параболічні за Петровським рівняння другого порядку типу рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова багатовимірного нормального марковського процесу. Коефіцієнти при похідних першого порядку за просторовими змінними в таких рівняннях є лінійними функціями цих змінних, а інші кофіцієнти сталі. Рівняння з третього класу - це рівняння типу рівнянь з другого класу, в яких додатково наявні виродження. Для рівнянь з першого класу розглядаються загальні модельні задачі в півпросторі. Крайові умови в цих задачах задовольняють умову доповняльності. Для рівнянь з другого та третього класів розглядаються півпросторові задачі Діріхле та задачі Неймана. Для задачі сформульовано умову доповняльності; побудовано ядра Пуассона, та однорідну матрицю Ґріна, для них і їх похідних отримано точні оцінки та встановлено дивергентні зображення; досліджено властивості в анізотропних просторах Гельдера як обмежених, так і необмежено зростаючих функцій операторів Ґріна; доведено теореми про коректну розв'язність в указаних вище просторах Гельдера, при цьому отримано точні оцінки норм розв'язку через відповідні норми правих частин задачі; встановлено, що для правильності таких оцінок умова параболічності системи рівнянь і умова доповняльності є не тільки достатніми, але й необхідними; отримано інтегральне зображення розв'язків, ядра інтегралів з цього зображення утворюють матрицю Ґріна задачі, з'ясовано структуру цієї матриці. Отримані в дисертації відомості про матриці Ґріна крайових задач певним чином показують, як впливають на властивості елементів матриць Ґріна і результати їх застосувань наявність у рівняннях особливостей та вироджень.