Прикарпатський Я. А. Дослідження алгебро-аналітичних та тополого-геометричних властивостей інтегровних динамічних систем та їх адіабатичних збурень

В дисертації досліджується питання побудови відображень вкладення для цілком інтегровних за Ліувіллем-Арнольдом гамільтонових систем на симплектичних многовидах. Розглянуто випадок некомутативної алгебри функціонально незалежних інваріантів гамільтоновської динамічної системи на симплектичному многовиді.Проаналізовано питання існування глобальної множини комутуючих інваріантів на всьому фазовому просторі. Вивчено диференціально-геометричні структури пов'язані з адіабатично-збуреними гамільтоновими системами на симплектичному многовиді. Побудовано гамільтонову зв'язність на відповідному розшаруванні з дією групи Лі і встановлено адіабатичні властивості відповідного відображення момента. Запропоновано новий підхід до проблеми Мельнікова-Самойленка аналізу стійкості інваріантного тору адіабатично-збуреної цілком інтегровної гамільтонової системи на основі спеціальної конструкції так званих "віртуальних" канонічних перетворень фазового простору в сепарабельних змінних Гамільтона-Якобі та зведено її до аналізу відповідної проблеми в канонічній формі Боголюбова. Встановлено стійкість інваріантного тору в проблемі Мельнікова-Самойленка. Запропоновано аналог -функції типу Дж. Мазера для конструктивної побудови ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Вивчено симетрійні властивості динамічних систем інваріантно редукованих на критичні точки нелокальних функціоналів Ейлера-Лагранжа. Описано диференціально-геометричну та інтегрально-операторну структуру операторів перетворень Дельсарта-Ліонса для поліноміальних пучків диференціальних операторів в просторі Гільберта.