Бігун Я. Й. Усереднення в багаточастотних системах диференціально-функціональних рівнянь

Дисертація присвячена розробці й обгрунтуванню схем усереднення для систем диференціально-функціональних рівнянь із повільними і швидкими змінними, які в процесі еволюції проходять через резонанс. У роботі введено резонансне співвідношення для частот, яке залежить від запізнення у швидких змінних. Побудовано рівномірні оцінки для осциляційних інтегралів, що відповідають багаточастотним системам у випадку сталого та змінного запізнення. Детально розглянено випадок лінійного запізнення. При накладених умовах асимптотика оцінок непокращувана. На підставі одержаних оцінок доведено нові теореми з обгрунтування методу усереднення для систем зі сталим і змінним запізненням, у випадках, коли частоти залежать від повільного часу або від повільних змінних. Вивчено випадок систем із лінійно перетвореним аргументом. Запропоновано й обгрунтовано схеми усереднення для систем із запізненням, коли задаються багатоточкові або інтегральні крайові умови. Процедура усереднення застосовується і до інтегральних крайових умов. У малому околі розв'язку усередненої задачі доведено існування і єдиність розв'язку або його існування, якщо вектор частот залежить від повільних змінних. Обгрунтовано схеми усереднення для систем рівнянь вищого наближення, якщо задано початкові або крайові умови. Розглянено задачу коливання нескінченної струни під дією багаточастотних збурень і дано для неї обгрунтування методу усереднення.