Янчук С. В. Теорія біфуркацій для сингулярно збурених рівнянь із запізненням та застосування до задач синхронізації

В дисертацiйнiй роботi закладено основи теорiї бiфуркацiй для сингулярно-збурених диференцiальних рiвнянь iз запiзненням. Крiм того, виявлено та дослiджено новi синхронiзацiйнi ефекти в системах диференцiально-рiзницевих рiвнянь iз запiзненням. Теорiя бiфуркацiй включає такi елементи: дослiдження стiйкостi положення рiвноваги та спектральних властивостей лiнеаризованого рiвняння, класифiкацiю локальних бiфуркацiй, виведення амплiтудних рiвнянь, що вiдiграють роль нормальних форм та описують динамiку системи в околi бiфуркацiї, оцiнку для нев’язки мiж розв’язками амплiтудних рiвнянь та точними розв’язками рiвняння iз запiзненням. Отриманi результати дозволяють зв’язати сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння з запiзненням та iншими класами задач - такими, як рiвняння з частинними похiдними та диференцiально-рiзницевi рiвняння. Показано унiверсальнiсть бiфуркацiйного сценарiю Екхауза для систем великої розмiрностi. Крiм того, дослiджено симетрично зв’язанi системи звичайних диференцiальних рiвнянь та рiвнянь iз запiзненням. Для системи двох симетрично звичайних диференцiальних рiвнянь показано, що задача повної синхронiзацiї еквiвалентна задачi про стiйкiсть певного лiнiйного iнварiантного пiдпростору. За допомогою методу функцiй Ляпунова отримано необхiднi та достатнi умови синхронiзацiї. У випадку неiдентичних систем, отримано оцiнки, якi дозволяють говорити про грубiсть синхронiзацiї по вiдношенню до збурень, якi порушують симетрiю. Для диференцiально-рiзницевих рiвнянь великої розмiрностi, що мають симетрiю вiдносно зсуву iндексу, дослiджено спектр власних значень положення рiвноваги та Флоке–експонент перiодичних розв’язкiв. Отриманi результати застосовано до детального дослiдження динамiки системи двох оптично зв’язаних напiвпровiдникових лазерiв.