Холькін О. М. Питання спектрального аналізу самоспряжених та несамоспряжених диференціальних операторів

Дисертаційна робота присвячена дослідженню зв'язків між спектральними і осциляційними властивостями диференціальних рівнянь з операторними (матрич-ними) коефіцієнтами. Вивчені властивості спектра таких диференціальних операторів. Доведена осциляційна теорема для задачі Штурма - Ліувілля на скінченому і нескінченному інтервалах з обмеженими операторними коефіцієнтами в сепара-бельному гільбертовому просторі Важливим частковим випадком цього результату є теорема Морса про індекс. Для диференціальних рівнянь довільного порядку (як парного, так і непарного) з операторними коефіцієнтами побудовано фундаментальний розв'язок з крайовою умовою на сингулярному кінці. Отримано узагальнення осциляційної теореми Штурма для самоспряжених диференціальних рівнянь довільного парного порядку з операторними коефіцієн-тами та з крайовими умовами загального вигляду. Наведено топологічне трактування цих теорем та розглянуто їх зв'язок з симплектичною геометрією. Побудовано матричні розв'язки, що спадають та зростають на нескінченості, для рівняння з блочно-трикутним матричним потенціалом, який зростає на нескінченності. Отримані достатні умови, при яких спектр такого несамоспряженого диференціального оператора є дійсним та дискретним. Побудовано функцію Гріна, отримано її розвинення в ряд. Доведено рівність Парсеваля. Установлено зв'язок між спектральними і осциляційними властивостями таких операторів на скінченому інтервалі та півосі. Отримано достатні умови істотної самоспряженості в L2(En) оператора, що породжений формально самоспряженим еліптичним диференціальним виразом загального вигляду в просторі вектор-функцій.