Покутний О. О. Нормально-розвязні крайові задачі для операторно-диференціальних рівнянь

Дисертацiя присвячена дослiдженню умов розв'язностi та побудовi розв'язкiв крайових задач для операторно-диференцiальних рiвнянь, лiнеарiзована частина яких є нормально-розв'язним оператором. Отримано необхiднi та достатнi умови iсну-вання обмежених на всiй осi розв'язкiв операторно-диференцiальних рiвнянь у прос-торах Фреше, Банаха та Гiльберта за умови, що вiдповiдне однорiдне рiвняння до-пускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях. Для лiнiйних операторних рiвнянь з обмеженим оператором у просторах Фре-ше та Банаха, коли вiдповiдний оператор має незамкнену множину значень, введе-но поняття сильних узагальнених розв'язкiв та квазiрозв'язкiв. Побудовано теорiю розв'язностi таких рiвнянь та вказано загальний вигляд розв'язкiв. Узагальнено метод рядiв Неймана на операторнi рiвняння з необов'язково стис-каючим оператором. Отримано необхiднi та достатнi умови розв'язностi нелiнiйних рiвнянь у прос-торах Фреше, Банаха та Гiльберта. Запропоновано алгоритми побудови наближених розв'язкiв. Отриманi результати застосовано до дослiдження операторно-диферен-цiальних крайових задач, зокрема, дослiджено перiодичну та двоточкову крайову задачу для операторно-диференцiального рiвняння Хiла у просторi Гiльберта. Знай-дено необхiднi та достатнi умови iснування узагальнених розв'язкiв даної задачi та представлено вiдповiднi узагальненi розв'язки. Дослiджено параметричну кра-йову задачу з перiодичними операторними коефiцiєнтами. Запропоновано означен-ня вiдносного спектра оператора. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування обмежених розв'язкiв лiнiйних та нелiнiйних операторно-диференцiальних рiвнянь у просторах Банаха з необмеженими операторними коефiцiєнтами за умов експо-ненцiальної дихотомiї на пiвосях. Слiд зауважити, що дослiдження крайових задач для операторно-диференцiальних рiвнянь в просторах Фреше має бiльш широкi за-стосування, нiж в просторах Банаха та Гiльберта. Наприклад, видiлено клас задач, розв'язки яких є розподiлами в просторах узагальнених функцiй або просторi Швар-ца функцiй повiльного росту. Отриманi результати у просторах Фреше дозволяють знаходити фундаментальнi розв'язки таких задач, де правi частини представленi у виглядi дельта-функцiй. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування та бiфуркацiї обмежених та узагальнених розв'язкiв крайових задач для лiнiйного та нелiнiйного рiвняння Шре-дiнгера у просторi Гiльберта. Вiдповiднi розв'язки будуються з допомогою введеного у роботi узагальненого оператора Грiна. Дослiджено розв'язнiсть нелiнiйної диференцiально-алгебраїчної системи та умо-ви бiфуркацiї розв'язкiв у припущеннi, що система зводиться до узагальненої цент-ральної канонiчної форми. Дослiджено операторне рiвняння типу Соболєва-Гальпєрна та отримано умови керованостi.