Бойко В. М. Узагальнені оператори Казіміра, сингулярні модулі редукції та симетрії диференціальних рівнянь

Основну увагу в дисертації зосереджено на проблемах, пов'язаних з узагальненими операторами Казіміра та реалізаціями алгебр Лі, а також ліївськими симетріями та модулями редукції диференціальних рівнянь. Розроблено оригінальний метод знаходження фундаментальних базисів інваріантів (узагальнених операторів Казіміра) алгебр Лі, що використовує картанівський метод рухомих реперів у версії Фелса-Олвера. З метою апробації методу, демонстрації його переваг і пояснення процедури нормалізації заново обчислено інваріанти дійсних низькорозмірних алгебр Лі. Вперше вичерпно описано базиси інваріантів серій розв'язних алгебр Лі довільної розмірності з фіксованими структурами нільрадикалів. Введено строге означення модулів редукції диференціальних рівнянь, що дало змогу переглянути та наново побудувати теорію некласичних симетрій диференціальних рівнянь. Запропоновано поняття сингулярних модулів редукції диференціальних рівнянь та проведено детальне дослідження властивостей таких модулів. Це дозволило впорядкувати й узагальнити всі раніше відомі ''no-go'' результати щодо некласичних симетрій диференціальних рівнянь. Доведено узагальнення теореми Лі про диференціальні інваріанти однопараметричної групи локальних перетворень. Проаналізовано зв'язок між побудовою таких інваріантів та інтегруванням систем рівнянь типу Ріккаті. Прокласифіковано ліївські симетрії систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з комутуючими сталими матрицями коефіцієнтів. Досліджено групоїди еквівалентності класу лінійних звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку та його підкласів. Виконано групову класифікацію таких рівнянь алгебраїчним методом у три різні способи. Вичерпно прокласифіковано ліївські симетрії нелінійних галілей-інваріантних узагальнень рівнянь Бюргерса і Кортевега-де Фріза довільного порядку. Доведено теорему про лінійні оператори редукції загального лінійного диференціального рівняння з частинними похідними. Вивчено найпростіші потенціальні закони збереження (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь, пов'язаних із введенням одного потенціалу за лінійними законами збереження.