Дисертація присвячена дослідженню класичних задач теорії наближення щодо обчислення поперечників функціональних класів, оптимізації квадратурних формул на класах функцій однієї і багатьох змінних, найкращого наближення функцій багатьох змінних сплайнами, найкращому відновленню операторів і функціоналів, одержанню точних нерівностей типу Колмогорова для норм похідних.
В першому розділі розглядається задача обчислення лінійних поперечників класів H^ω функцій, визначених на відрізку [0,1], які мають задану мажоранту ω модуля неперервності в просторі неперервних функцій. Поперечники за Колмогоровим цих функціональних класів були знайдені в 1960-1970 рр., проте точні значення їх лінійних поперечників залишаються невідомими. Обчислено точне значення лінійного одновимірного поперечника класу H^ω та його періодичного аналогу в просторі неперервних функцій. Це дозволило встановити нові оцінки зверху лінійних поперечників класу H^ω вищих порядків, які покращують відомі оцінки. Показано, що ці оцінки є точними на широкому класі лінійних методів – додатних мініедральних методів, означена та обчислена нова апроксимативна характеристика, споріднена відносним поперечникам.
В другому розділі розглядається задача оптимізації квадратурних форму. В 1980 рр. було доведено, що формула прямокутників є накращою квадратурною формулою на класі згорток K*F ядер K, що не збільшує осциляцію, з переставно інваріантними множинами F періодичних функцій. Зауважимо, що класи згорток узагальнюють багато важливих функціональних класів, наприклад, класи Соболєва. Цей результат поширено на задачу оптимізації інтервальних квадратурних формул та доведено оптимальність інтервальної формули прямокутників – формули з рівними коефіцієнтами та рівновіддаленими вузлами – на класах K*F. Ключовою для отримання зазначеного результату є нова властивість ядра Стєклова не збільшувати осциляцію в згортці з вузьким класом функцій, які можна зобразити у вигляді різниці двох несиметричних сплайнів нульового порядку.
Також розв’язана задача оптимізації квадратурних формул, які використовують в якості інформації про підінтегральну функцію її усереднення вздовж перетинів області визначення з гіперплощинами заданої вимірності на класах функцій багатьох змінних, заданих мажорантою модуля неперервності або обмеженням на частинні похідні.
В третьому розділі вивчається задача встановлення асимптотичної поведінки найкращого наближення функцій багатьох змінних сплайнами. Отримана точна асимптотика похибки найкращого (α,β)−нелінійного наближення опуклих функцій двох змінних лінійними неперервними сплайнами в термінах кількості елементів тріангуляцій. Дослідження несиметричних наближень дозволяє розглядати звичайні та односторонні наближення з єдиної точки зору. Важливим кроком в доведенні цього результату було розв’язанная екстремальної задачі про найкраще несиметричне наближення додатно визначеної квадратичної форми лінійними функціями на симплексах. Також, розглядається задача трансфінітної інтерполяції функцій багатьох змінних гармонічними сплайнами. Знайдено точний порядок асимптотичної поведінки найкращої інтерполяції класу W_∞^Δ (Ω) в метриці L_q гармонічними сплайнами та доведено, що цей порядок не залежить від вимірності простору визначення функцій.
В четвертому розділі досліджується задача найкращого відновлення операторів за точною або неточною інформацією. Знайдено похибку найкращого відновлення класу W_∞^2 (G) функцій багатьох змінних, визначених на опуклому тілі G⊂R^d та таких, що мають рівномірно обмежені похідні за довільних напрямком другого порядку за значеннями функцій та їх градієнтів в заданій скінченній системі точок. Також розв’язана задача найкращого відновлення інтегральних операторів з невід’ємними ядрами та сум таких операторів на класах функцій, визначених на компактах метричних просторів, які мають задану мажоранту модуля неперервності за інформацією про значення функцій в заданій скінченній системі точок.
П’ятий розділ присвячено нерівностям типу Колмогорова та спорідненій задачі про найкраще наближення операторів лінійними обмеженими. Знайдена нова точна нерівність типу Колмогорова, що оцінює L_∞-норму дробової похідної в смислі Маршо функцій, визначеної на невід’ємній напівосі, в термінах L_∞-норми самої функції та L_s-норми її другої похідної. Отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм похідних абсолютно монотонних та кратно монотонних функцій, визначених на скінченному відрізку. Крім того, розв’язана задача про найкраще наближення диференціальних операторів першого та другого порядків на класах функцій, визнчених на скінченному відрізку, які мають або обмежену другу похідну в просторі L_p чи просторі Орліча, або обмежену третю похідну в просторі L_∞.
