Вишнякова Г. М. Многочлени з обмеженнями на розташування коренів і граничні класи цілих функцій

Побудовано нову теорію і знайдено нові методи дослідження зв'язків розташування коренів многочленів і цілих функцій з властивостями їх коефіцієнтів, а також отримані описи і досліджено властивості лінійних операторів, які зберігають гіперболічність, стійкість і позитивність. Отримано достатню умову тотальної (кратної) позитивності дійсних матриць, та доведено, що ця умова є точною в класах ганкелевих матриць і тепліцевих матриць. Отримано достатні умови стійкості комплексних многочленів і цілих функцій, перевірено, що вони не можуть бути покращеними. Знайдено опис крайніх напрямків конусу многочленів з додатними коефіцієнтами, які є невід'ємними на дійсній осі і мають степінь не більшу за дане число. Знайдено опис діагональних в стандартному базисі лінійних операторів, які зберігають вказаний конус. Отримано характеризацію нульових множин цілих абсолютно монотонних функцій, якщо вони не перетинають деякий кут, якій містить від’ємну півось. Знайдені значення параметру, при яких часткова тета-функція і її відрізки ряду Тейлора належать до класу Лаґерра-Поліа. Досліджено належність до класу Лаґерра-Поліа низки інших важливих цілих функцій і їх відрізків ряду Тейлора. Знайдена нова характеризація класу Лаґерра-Поліа через узагальнені нерівності Лаґерра. Отримано точну оцінку знизу на меш образу гіперболічного многочлена під дією центрально-різницевого лінійного оператора зі сталими коефіцієнтами. Отримано опис лінійних скінчено-різницевих операторів зі сталими коефіцієнтами, які зберігають множину гіперболічних многочленів, і які зберігають множину многочленів з коренями у смузі. Доведені важливі властивості коренів образу цілої функції класу Лаґерра-Поліа під дією центрально-різницевого лінійного оператора. Отримано опис лінійних скінченно-різницевих операторів, коефіцієнти яких є цілими функціями, що зберігають клас цілих функцій Лаґерра-Поліа.