Шпаківський В. С. Моногенні функції в асоціативних алгебрах

У дисертації розвивається теорія функцій гіперкомплексної змінної в скінченновимірних алгебрах (комутативних і некомутативних) і в нескінченновимірних просторах із комутативним множенням. Зокрема, отримано конструктивний опис моногенних функцій зі значеннями в довільній скінченновимірній комутативній асоціативній алгебрі над полем комплексних чисел за допомогою голоморфних функцій комплексної змінної. Як наслідок, для довільного лінійного диференціального рівняння з частинними похідних зі сталими коефіцієнтами запропоновано процедуру побудови нескінченного сімейства розв'язків. Для згаданих моногенних функцій доведено аналоги класичних інтегральних теорем із комплексного аналізу (теореми Коші для криволінійного і поверхневого інтеграла, теореми Морера, аналог інтегральної формули Коші для криволінійного інтеграла). Вивчаються моногенні функції зі значеннями в топологічному векторному просторі, який є розширенням деякої нескінченновимірної комутативної асоціативної банахової алгебри, асоційованої із тривимірним рівнянням Лапласа. Встановлено інтегральні теореми для моногенних функцій зі значеннями у згаданих вище алгебрі й топологічному векторному просторі. Введено нові класи моногенних відображень в алгебрі комплексних кватерніонів H(C), так звані право-G-моногенні відображення й ліво-G-моногенні відображення, і вивчаються основні їхні алгебраїчно-аналітичні властивості. Встановлено співвідношення між відомими класами кватерніонних диференційовних функцій та функцій, аналітичних за Хаусдорфом. Вивчаються ліво-At-гіперголоморфні функції (тобто такі, що належать ядру оператора Дірака) в узагальнених алгебрах Келі-Діксона. Запропоновано алгоритм конструювання таких функцій.