Денега І. В. Квадратичні диференціали та симетризаційні методи в задачах про екстремальне розбиття комплексної площини

У роботі одержано ефективні оцінки зверху добутків внутрішніх радіусів взаємно неперетинних областей із фіксованими полюсами відповідних квадратичних диференціалів на (n,m)-променевих системах точок комплексної площини за будь-яких значень степеня y є (0, nm] внутрішнього радіуса області відносно початку координат (степеня y є R+ внутрішніх радіусів областей відносно початку координат і нескінченно віддаленої точки). Одержано оцінки зверху добутків внутрішніх радіусів областей, що взаємно не перетинаються, у випадках, коли полюси відповідних квадратичних диференціалів розміщені на одиничному колі чи на довільній прямій, і у випадку, коли області симетричні відносно одиничного кола. Встановлено умови, за яких структура точок і областей неістотна. Доведені оцінки функціоналів дали змогу знайти посилені точні розв'язки у відкритих екстремальних проблемах про взаємно неперетинні області. Розв'язано відкриту проблему про знаходження максимуму добутку внутрішніх радіусів двох областей відносно точок одиничного кола на степінь y внутрішнього радіусу області відносно початку координат при довільному y є (0, 2] за умови, що всі три області попарно не перетинаються, й узагальнено його для випадку двох довільних точок комплексної площини.