Салімов Р. Р. Метод неконформного модуля у теорії відображень зі скінченним спотворенням

У дисертації розвинуто метод неконформного модуля для дослідження диференціальних, локальних, асимптотичних і граничних властивостей відображень зі скінченним спотворенням, кільцевих і нижніх Q-гомеоморфізмів, визначених у термінах неконформного p-модуля. Отримано характеризацію кільцевих і нижніх Q-гомеоморфізмів у термінах p-модуля і встановлено взаємозв'язок між цими гомеоморфізмами. Доведено аналоги нерівності М.О.Лаврентьєва про спотворення площі круга при квазіконформних відображеннях, леми Герінга про локальну ліпшицевість і теореми Ікоми--Шварца для кільцевих і нижніх Q-гомеоморфізмів, визначених у термінах p-модуля. Встановлено, що гомеоморфні розв'язки вироджених рівнянь Бельтрамі з узагальненими похідними є кільцевими й нижніми Q-гомеоморфізмами, де Q – дотична дилатація, й доведено узагальнені теореми про неперервне і гомеоморфне продовження вказаних розв'язків і їхню асимптотичну поведінку на нескінченності. Встановлено загальні умови на дотичну дилатацію, достатні для існування регулярних розв'язків задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі в довільних жорданових областях. Встановлено зв'язок класів Соболєва в областях комплексної площини, а також класів Орліча--Соболєва у просторі Rn за умови типу умови Кальдерона, з нижніми й кільцевими Q-гомеоморфізмами, визначеними в термінах p-модуля. Знайдено достатні умови локальної й логарифмічної гельдеровості, степеневого й логарифмічного порядку зростання гомеоморфізмів, що належать наведеним класам Соболєва чи Орліча-Соболєва. Встановлено достатні умови належності Q-відображень, визначених у термінах p-модуля, до класів Соболєва й доведено узагальнення теореми Боярського-Іванця про невиродженість якобіана відображення. Отримано оцінки зверху якобіана й операторної норми матриці Якобі, внутрішніх і зовнішніх дилатацій кільцевих Q-відображень відносно p-модуля. Узагальнено результат Ю. Вяйсяля про абсолютну неперервність на лініях квазіконформних відображень на відкриті дискретні відображення, що задовольняють певну p-модульну нерівність.