Тимошенко А. А. Оптимальне точкове керування переносом маси у пористих середовищах.

Дослідження присвячено моделюванню процесу переносу вологи у пористому середовищі із зануреними точковими джерелами та пошуку оптимального значення потужності джерел для заданої бажаної вологості. Проблема фільтрації у пористому середовищі залишається актуальною і сьогодні через велику кількість супутніх процесів та параметрів, які суттєво підвищують її складність. Більшість наявних робіт присвячена моделюванню процесу з частковим урахуванням фізичних, хімічних або геологічних особливостей пористого середовища. Оптимізація для рівняння Річардса-Клюта досліджена частково та зазвичай потребує додаткових припущень для спрощення. Розв’язання задачі оптимального розподілу вологи у пористому середовищі дозволить отримати нові результати також для схожих областей науки – переносу солей під час фільтрації, розповсюдження забруднення та ряді інших проблем, де наявний пористий матеріал у конструкції. Метою дисертаційної роботи є: 1) Побудова моделі переносу маси у пористому середовищі з точковими джерелами за допомогою модифікованого перетворення Кірхгофа. 2) Доведення коректності постановки задачі. 3) Побудова алгоритму оптимального керування переносом маси з точковими джерелами та доведення існування та єдиності оптимального керування. 4) Проведення обчислювальних експериментів та дослідження властивостей алгоритму обчислення. Об’єктом дослідження є математична модель вологоперенесення води з шуканим значенням потужності джерел. Предметом дослідження є узагальнені розв’язки квазілінійного диференціального рівняння з частинними похідними і сингулярними правими частинами, їх властивості, а також розв’язки оберненої задачі ідентифікації потужності точкових джерел зволоження пористого середовища, представленої рівнянням Річардса-Клюта. Методика дослідження: методи теорії узагальненого оптимального керування лінійними розподіленими системами, методика апріорних оцінок у негативних нормах, варіаційні методи розв’язування обернених задач, апарат математичного і функціонального аналізу. Спочатку за допомогою підстановки Кірхгофа та заміни змінних виконано перехід до безрозмірного рівняння з лінійним оператором. Для одновимірного та двовимірного рівнянь застосовано модифіковану підстановку Кірхгофа з урахуванням коефіцієнтів водопроникності вздовж відповідних координат та масштабними множниками відповідно до лінійних розмірів області та часового проміжку. Для отриманого рівняння введено критерій оптимальності – розподіл безрозмірного аналогу вологи має відповідати (бути максимально близьким до) заданої функції в останній момент часу або протягом всього процесу. Відповідно, чисельний критерій оптимальності представлено функціоналом якості, який мінімізується. Для самоперевірки можна взявши одне джерело зволоження та знайти оптимальне значення вологості, прирівнявши функціонал до нуля. Після цього порівняти отриманий результат з результатом виконання методу, представленого у дисертації. Доведено коректність постановки задачі оптимізації, існування та єдиність її розв’язку. Далі виконується розбиття на підзадачі відповідно до варіаційного методу. Перше рівняння враховує поточне наближення оптимальної потужності джерел та моделює розподіл безрозмірного аналогу вологи позначеного Тета. Другим етапом варіаційного методу є побудова спряженого рівняння, права частина якого враховує різницю між отриманими показниками та бажаною функцією. Третій етап методу полягає у знаходженні нового наближення оптимальної потужності враховуючи отримані у двох попередніх розв’язки прямої та спряженої задачі у точках, де задано бажану функцію. Для перших двох етапів виконується просторово-часова дискретизація, обчислено похибку в залежності від вибору кроку. Нове наближення оптимальної потужності в залежності від вибору ітераційного методу отримано кількома шляхами, порівняно кількість ітерацій та досягнуту точність для кожного з розглянутих підходів. Для розв’язання відповідних СЛАР використано ітераційні методи. В залежності від умов на межі області отримано та розв’язано кілька СЛАР, результати розподілу безрозмірної вологості представлено у вигляді графіків зрізу через джерело. Додатково було запропоновано пришвидшення методу застосувавши метод дробного кроку при обчисленні наступного наближення потужності. Також сконструйовано метод що залежить від величини максимального або середнього відхилення від цільової функції – крок змінюється кожну ітерацію поступово зменшуючись при наближенні до оптимального значення. Хоча метод завершився після меншої кількості ітерацій та досяг потрібної точності, проте не для будь-якої довжини початкового кроку (масштабний множник) він є збіжним.