Посашков С. В. Змішані броунівськи-дробово-броунівські моделі та їхнє застосування до теорії фільтрації та фінансової математики

Дисертаційну роботу присвячено змішаним броунівським-дробово-броунівським моделям. Для стохастичних диференціальних рівнянь, керованих сумішшю стандартного та дробового броунівського руху, доведено існування та єдиність розв'язку. Розглянуто задачу фільтрації у системі з процесом-сигналом, керованим сумішшю СБР та ДБР. У загальному випадку виведено рівняння для оптимального фільтру процесу-сигналу по процесу-спостереженню. Особливу увагу приділено лінійній системі: для неї виведено замкнену систему рівнянь для середнього оптимального фільтру та варіації помилки фільтрації. Для $(B,S)$-ринку цінних паперів зі волатильністю, керованою як чистим дробовим броунівським рухом так і його сумішшю зі стандартним броунівським рухом, доведено безарбітражність та неповноту. використовуючи поняття мінімальної мартингальної міри, виведено вираз для справедливої ціни платіжного зобов'язання Європейського типу. У випадку присутності суміші СБР та ДБР у волатільності для ціни платіжного зобов'язання виведено диференціальне рівняння у частинних похідних.