Савченко Н. В. Коливання та стійкість руху деяких неконсервативних механічних систем

Дисертаційну роботу присвячено актуальним проблемам сучасної теоретичної механіки, що виникають при дослідженні стійкості руху механічних систем, які описуються нелінійними звичайними диференціальними рівняннями. У дисертації розв'язано завдання конструктивної побудови функцій Ляпунова для класів неконсервативних нелінійних механічних систем у критичних випадках із застосуванням до дослідження стійкості руху деяких систем твердих тіл. Запропоновано спосіб побудови функції Ляпунова для системи звичайних диференціальних рівнянь порядку 2m + l, матриця лінійної частини якої має m пар суто уявних і l власних значень, які належать відкритій лівій комплексній півплощині, а нелінійна частина системи має спеціальний вигляд. Даний підхід видається більш простим, ніж відомий метод зведення. У роботі уперше сформульовані і доведені дві теореми, що дозволяють конструктивно встановити асимптотичну стійкість або нестійкість розв'язку системи зазначеного виду. У якості прикладу досліджено задачу про стійкість стану рівноваги подвійного математичного маятника з динамічним поглиначем коливань. Розв'язано задачу стабілізації стану рівноваги маятникового осцилятора за допомогою додавання до нього лінійного динамічного абсорбера пасивного типу. З'ясовано, що додавання абсорбера у даному випадку веде до рівномірної асимптотичної стійкості за частиною змінних. У разі подвійного фізичного маятника показано, що приєднання динамічного поглинача коливань забезпечує експоненціальну стійкість руху. Також розв'язано задачу стійкості руху лінійної механічної системи, що знаходиться під дією структури сил. Знайдені оцінки власних значень для конкретних випадків, що дає змогу оцінити швидкість загасання збурених рухів системи. Отримано необхідні і достатні умови асимптотичної стійкості рівномірних обертань несиметричного гіроскопа, що знаходиться під дією демпфуючого моменту. Також досліджено критичний за Ляпуновим випадок, коли характеристичне рівняння системи лінійного наближення має пару чисто уявних коренів.