Бешлей А. В. Чисельне розв'язування плоских задач для еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами методом інтегральних рівнянь

Дисертацiйна робота присвячена чисельному розв’язуванню плоских задач для елiптичниого рiвняння другого порядку зi змiнними коефiцiєнтами. У данiй працi розглянуто крайовi задачi Дiрiхле та Неймана в обмеженiй однозв’язнiй областi, мiшанi крайовi задачi та задачу Кошi у двозв’язнiй обмеженiй областi. Для розв’язування крайових задач Дiрiхле та Неймана, використовуючи поняття параметрикса та непрямий пiдхiд iнтегральних рiвнянь, диференцiальнi задачi редуковано до систем гранично-просторових iнтегральних рiвнянь (ГПIР). Дослiджено коректнiсть отриманих систем. Через замiну змiнних на основi гомотетичного стиснення граничної кривої областi розв’язку одержано параметризовану систему ГПIР, яку повнiстю дискретизовано методом Нистрьома. Для мiшаних крайових задач, подiбно до задач Дiрiхле та Неймана, розв’язки подано у виглядi суми параметрикс-потенцiалiв простого шару та об’ємного параметрикс-потенцiалу з невiдомими густинами. Розглянуто випадки двозв’язних областей, що обмеженi гомотетичними та негомотетичними кривими. Для чисельного розв’язування некоректної задачi Кошi застосовано непрямий метод iнтегральних рiвнянь з регуляризацiєю Тiхонова, а також два iтерацiйнi методи (альтернуючий метод та метод Ландвебера). Розглянуто алгоритми iтерацiйних методiв та дослiджено збiжнiсть альтернуючого методу. Для всiх методiв виконано чисельнi експерименти, результати яких пiдтверджують теоретичнi дослiдження.