Сорокін О. С. Кільця пов'язані з умовами стабільного рангу

Дисертація присвячена обчисленню стабільного рангу узагальнено адекватних кілець, описанню скінченно-зображуваних модулів над морфічними кільцями елементарних дільників, а також вивченню будови скінченно-породжених проективних модулів над морфічними кільцями елементарних дільників, тобто встановленню умов на групу Гротендіка для випадку, коли вихідне кільце є кільцем елементарних дільників, вивченню властивостей скорочення відповідних модулів над досліджуваними класами кілець. Введено поняття майже вільного від квадратів елемента, показано, що такі елементи є адекватними елементами майже стабільного рангу 1 в дуо-областях Безу. Знайдено умови, при яких скінченні гомоморфні образи дуо-області Безу є регулярними кільцями в термінах їх гомологічних характеристик, зокрема, ці скінченні гомоморфні образи відповідають майже вільним від квадратів елементам вихідного кільця і навпаки. Встановлено ряд властивостей якими володіють скінченні гомоморфні образи дуо-областей Безу. Також показано, що морфічні кільця праві максимальні ідеали яких є лівими чистими є строго регулярними кільцями тоді і лише тоді, коли вихідне кільце є правим (лівим) дуо-кільцем. Показано, що узагальнено адекватні кільця є кільцями стабільного рангу 2 і вони є кільцями елементарних дільників. Крім цього, вивчається структура головних ідеалів комутативних кілець Безу та морфічних кілець, з'ясовано взаємозв'язки між морфічними парами при різноманітних алгебраїчних операціях. На основі вказаних властивостей побудовано аналог групи Гротендіка морфічного кільця - слабку групу Гротендіка, знайдено функторіальний зв'язок даної конструкції із певними підкільцями кілець Вітта. Показано спосіб, як перетворити слабку групу Гротендіка на комутативне кільце з 1, досліджено властивості її елементів. На сам кінець, показано, що у випадку регулярних кілець класичне означення групи Гротендіка співпадає із введеною слабкою групою Гротендіка, а у випадку кілець елементарних дільників звичайна група Гротендіка є підгрупою слабкої групи Гротендіка.