Cаган А. В. Редукція матриць над кільцями Безу.

У дисертаційній роботі досліджується елементарна редукція матриць над різними класами комутативних і некомутативних кілець. Вказано необхідні та достатні умови, за яких квазі-евклідове дуо-кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць. Використовуючи цей критерій встановлено класи дуо-кілець з елементарною редукцією матриць. Доведено, що праве кільце Ерміта стабільного рангу один є правим евклідовим кільцем. Показано, що для довільних двох повних матриць порядку над кільцем елементарних дільників існує правий (лівий) скінченний членний ланцюг подільності, а над областю головних ідеалів - правий (лівий) 2-членний ланцюг подільності. Введено поняття комутативної атомної області та досліджено її властивості. Також досліджено атомні області Безу та локально атомні області Безу і доведено, що вони є кільцями з елементарною редукцією матриць. Введено поняття кільця та досліджено його властивості. Встановлено, що кільце з елементарною редукцією матриць є кільцем. Доведено, що комутативна евклідова область є кільцем з елементарною редукцією матриць тоді і тільки тоді, коли кільце є кільцем для кожного ідеалу кільця . Встановлено, що комутативна область є евклідовою тоді і тільки тоді, коли кільце формальних рядів Лорана є евклідовою областю. Доведено, що довільна вироджена матриця над кільцем формальних степеневих рядів Лорана, кільце коефіцієнтів яких є евклідовою областю, розкладається в добуток ідемпотентних матриць.