Дисертаційна робота присвячена вивченню абстрактних властивостей напівгруп ендоморфізмів бінарних відношень заданих класів: відношень еквівалентності, симетричних, ефективних і зв’язних відношень. Вивчаються напівгрупи ендотопізмів та відповідності напівгруп ендоморфізмів зазначених реляційних систем.
Робота складається з анотації, вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків. У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету, завдання, об’єкт та предмет дослідження, вказано методи дослідження, сформульовано наукову новизну, теоретичне та практичне значення одержаних результатів, а також особистий внесок здобувача. Наведено перелік семінарів і конференцій, на яких було апробовано результати дисертації, охарактеризовано структуру роботи.
У першому розділі подаються необхідні теоретичні відомості з теорії напівгруп і теорії графів та наводяться відомі результати, які використовуються в дисертаційній роботі надалі. Для довільного бінарного відношення визначено шість типів ендотопізмів та описано напівгрупу ендотопізмів , множини напівсильних локально сильних , квазісильних ендотопізмів, моноїд сильних ендотопізмів та групу автотопізмів відношення еквівалентності . Встановлено зв’язок між відповідностями напівгрупи ендоморфізмів довільної еквівалентності на множині та напівгрупами ендотопізмів цього відношення, а саме: напівгрупа ендотопізмів, моноїд сильних ендотопізмів і група автотопізмів відношення еквівалентності є відповідностями напівгрупи ендоморфізмів тієї ж еквівалентності. Знайдено необхідні та достатні умови, за яких множини та є відповідностями напівгрупи .
У другому розділі вивчаються відповідності напівгрупи ендоморфізмів довільного відношення еквівалентності. Визначено малу категорію множиною об’єктів якої є фактор-множина множини за еквівалентністю а морфізмами – будь-які відображення між класами еквівалентності з За допомогою конструкції вінцевого добутку моноїда з малою категорією описано зображення трьох відповідностей напівгрупи всіх ендоморфізмів довільного відношення еквівалентності, а саме: напівгрупи всіх ендотопізмів, моноїда всіх сильних ендотопізмів та групи автотопізмів довільної еквівалентності. За допомогою властивостей мінімального ідеалу напівгрупи ендотопізмів відношення еквівалентності доведено визначеності відношень еквівалентності з точністю до ізоморфізму їх напівгрупами ендотопізмів. Крім того, побудовано всі ізоморфізми між напівгрупами ендотопізмів довільних еквівалентностей. Описано критеріальні умови регулярності та корегулярності відповідностей як напівгруп ендотопізмів відношення еквівалентності.
Визначено поняття ендотипу бінарного відношення відносно його ендотопізмів як значення суми де , , приймають значення 0 або 1 та визначаються в такий спосіб: якщо на -тій позиції в послідовності включень множини збігаються, в іншому випадку. Отримано класифікацію всіх еквівалентностей за значенням їх ендотипу відносно ендотопізмів, а також класифікацію всіх строгих часткових еквівалентностей за значенням їх ендотипу відносно ендоморфізмів.
Визначено поняття ендоспектра бінарного відношення відносно його ендотопізмів як послідовності потужностей . Досліджено ендоспектр довільного відношення еквівалентності на скінченній множині.
У третьому розділі вивчається напівгрупа ендотопізмів ефективного і зв’язного бінарного відношення і моноїд сильних ендотопізмів симетричного бінарного відношення. Для бінарних відношень, які задовольняють умови ефективності та зв’язності, доведено, що напівгрупа ендотопізмів будь-якого такого відношення характеризує це бінарне відношення з точністю до ізотопізму або антиізотопізму. Для симетричних бінарних відношень певного класу отримано точне зображення моноїда сильних ендотопізмів такого відношення у вигляді вінцевого добутку моноїда сильних ін’єктивних ендоморфізмів і деякої малої категорії.
