Подолян І. В. Матричні зображення постійного жорданового типу абелевих та діедральних груп

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Міністерство освіти і науки України. – Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2019. Дисертаційна робота пов’язана із сучасними аспектами теорії матричних зображень скінченних груп. Матричні зображення (чи відповідні модулі) скінченних груп над полями та класичними кільцями досліджувались протягом багатьох десятиліть. Якщо говорити про зображення скінченних груп над полем, то теорія зображень має 2 основні напрямки: класичний, коли характеристика поля не ділить порядок групи (зокрема, дорівнює нулю) і модулярний, коли характеристика поля ділить порядок групи. У першому випадку кожна група має (з точністю до еквівалентності) лише скінченне число нерозкладних зображень; в такій ситуації кажуть, що група має скінченний зображувальний тип. У модулярному випадку нерозкладних зображень, як правило, нескінченне число (з точністю до еквівалентності); в цьому випадку кажуть, що група має нескінченний зображувальний тип. Група нескінченного типу може бути ручною або дикою (формально, групи скінченного типу відносять до ручних груп). Групи ручного та дикого типів часто називають просто ручними та дикими. В 1977 р. В. М. Бондаренко і Ю. А. Дрозд описали ручні і дикі групи в модулярному випадку. У дисертації розглядається задача про опис зображень постійного жорданового типу для елементарних абелевих груп, а також, при деякому послабленні означення, для діедральних груп (такі зображення ввели Д. Ф. Карлсон, Е. М. Фрідлендер і Ю. Пєвцова). У першому розділі дисертаційної роботи викладено основні початкові відомості теорії категорій, лінійної алгебри та сучасної теорії матричних зображень. У другому розділі вивчаються матричні зображення четверної групи Клейна над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 2. Описано зображення постійного жорданового типу для цієї групи. Отримано узагальнення на матричні зображення локальних алгебр над полем довільної характеристики. У третьому розділі описана категорія зображень постійного жорданового типу для четверної групи Клейна. Для довільної фіксованої розмірності обчислено загальне число нерозкладних матричних зображень четверної групи Клейна над скінченним полем, які мають постійний жордановий тип. У четвертому розділі отримано критерій ручності для елементарних абе- левих груп відносно зображень постійного жорданового типу. Описано такі зображення малих розмірностей для диких елементарних абелевих 2-груп. У п’ятому розділі вивчаються однопараметричні сімейства нерозкладних зображень постійного рангу діедральних груп.